傅里叶变换性质证明Word格式.docx

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　　将其推广，若

则

　　其中

为常数，n为正整数。

　　由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.

　　显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：

均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即

叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和

2.6.2反褶与共轭性

　　设f（t）的傅里叶变换为

，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶

　　f（-t）是f（t）的反褶，其傅里叶变换为

（2）共轭

　　（3）既反褶又共轭

本性质还可利用前两条性质来证明：

　设g（t）=f（-t），h（t）=g*（t），则

在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f（t）是实函数还是复函数，因此,无论f（t）为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质

　　若f（t）为奇信号，即f（t）=-f（-t），则有

　　　　　　　　F[F（t）]=-2f（

）

　　利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。

下面我们举些例子来说明这一点。

2.6.5尺度变换

　　若F[f（t）]=F（

），则

　　这里a是非零的实常数。

　　下面利用FT的定义及积分的性质，分a>

0和a<

0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性。

　　证明：

因为

　　令at=x，

　　当a>

0时

　　当a<

0时　

　　上述两种情况可综合成如下表达式：

　　由上可见，若信号f（t）在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a。

　　尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。

对于a=-1的特殊情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。

　　对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。

反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。

2.6.6时间平移（延时）

　　下面进行证明

上式右边的积分项为傅里叶变换定义式，

　　于是可以得到

　　同理可以得到

2.6.7　时域微分

，两边对t求导，可得

　　所以　　

　　同理，可以推出

　　由上可见，在时域中f（t）对t取n阶导数等效于在频域中f（t）的频谱F（

）乘以（j）n.下面举一个简单的应用例子。

若已知单位阶跃信号u（t）的傅里叶变换，可利用此定理求出（t）的FT

2.6.8频域微分

因为

，两边分别对

求导，可得

　　所以

2.6.9时域积分

可见，这与利用符号函数求得的结果一致。

2.6.10频域积分

），则有

2.6.11时域卷积定理

2.6.12频域卷积定理

　　与时域卷积定理类似，

　　证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。

　　由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。

或者说，两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。

　　显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。

2.6.13　帕斯瓦尔定理

　　前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。

下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式。

），则

　　这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的。

下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。

　　式中

是信号f（t）的总能量，

为信号f（t）的能量谱密度。

　　帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量|f（t）|2在整个时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量

/2在整个频率范围内积分来得到。

　　此定理也可以如下证明。

由相关性定理可得

　　取t=0，即得帕斯瓦尔定理。