高中数学 132杨辉三角与二项式系数的性质教案 新人教版选修23.docx

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高中数学132杨辉三角与二项式系数的性质教案新人教版选修23

§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质

教学目标：

知识与技能：

掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：

培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：

要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

教学重点：

如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

教学难点：

如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

授课类型：

新授课

课时安排：

2课时

教学过程：

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1），

（2）.

2．二项展开式的通项公式：

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数

定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．

直线是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值．∵，

∴相对于的增减情况由决定，，

当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．

（3）各二项式系数和：

∵，

令，则

三、讲解范例：

例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：

在展开式中，令，则，

即，

∴，

即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：

由性质（3）及例1知.

例2．已知，求：

（1）；

（2）；（3）.

解：

（1）当时，，展开式右边为

∴，

当时，，∴，

（2）令，①

令，②

①②得：

，∴.

（3）由展开式知：

均为负，均为正，

∴由

（2）中①+②得：

，

∴，

∴

例3.求（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）10展开式中x3的系数

解：

=，

∴原式中实为这分子中的，则所求系数为

例4.在（x2+3x+2）5的展开式中，求x的系数

解：

∵

∴在（x+1）5展开式中，常数项为1，含x的项为，

在（2+x）5展开式中，常数项为25=32，含x的项为

∴展开式中含x的项为，

∴此展开式中x的系数为240

例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项

解：

依题意

∴3n（n-1）（n-2）（n-3）/4!

=4n（n-1）/2!

n=10

设第r+1项为常数项，又

令，

此所求常数项为180

例6．设，

当时，求的值

解：

令得：

，

∴，

点评：

对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

例7．求证：

．

证（法一）倒序相加：

设①

又∵　　　②

∵，∴，

由①+②得：

，

∴，即．

（法二）：

左边各组合数的通项为

，

∴．

例8．在的展开式中,求:

①二项式系数的和;　

②各项系数的和;　

③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;　

④奇数项系数和与偶数项系数和;　

⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.

分析:

因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.

解：

设（*）,

各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.

由于（*）是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

①二项式系数和为.

②令,各项系数和为.

③奇数项的二项式系数和为,

偶数项的二项式系数和为.

④设,

令,得到…

（1）,

令,（或,）得…

（2）

（1）+

（2）得,

∴奇数项的系数和为;

（1）-

（2）得,

∴偶数项的系数和为.

⑤的奇次项系数和为;

的偶次项系数和为.

点评:

要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.

例9．已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:

①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.

解：

由题意,解得.

①的展开式中第6项的二项式系数最大,

即.

②设第项的系数的绝对值最大,

则

∴,得,即

∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项

例10．已知：

的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项

解：

令，则展开式中各项系数和为，

又展开式中二项式系数和为，

∴，．

（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，

∴，，

（2）设展开式中第项系数最大，则，

∴，∴，

即展开式中第项系数最大，．

例11．已知，

求证：

当为偶数时，能被整除

分析：

由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式

∵，

∴，∵为偶数，∴设（），

∴

（），

当=时，显然能被整除，

当时，（）式能被整除，

所以，当为偶数时，能被整除

三、课堂练习：

1．展开式中的系数为，各项系数之和为．

2．多项式（）的展开式中，的系数为

3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（）

A.4B.5C.6D.8

4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）

A.低于5％B.在5％～6％之间

C.在6％～8％之间D.在8％以上

5．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（）

A.0B.C.D.

6．求和：

．

7．求证：

当且时，．

8．求的展开式中系数最大的项

答案：

1.45,02.0．提示：

3.B4.C5.D6.

7.（略）8.

四、小结：

二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用

五、课后作业：

P36习题1.3A组5.6.7.8B组1.2

1．已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而展开式的系数的最大的项等于，求的值

答案：

2．设

求：

①②．

答案：

①；②

3．求值：

．

答案：

4．设，试求的展开式中：

（1）所有项的系数和；

（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和

答案：

（1）；

（2）所有偶次项的系数和为；

所有奇次项的系数和为

六、板书设计（略）

七、教学反思：

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

二项式定理概念的引入，我们已经学过（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；（a+b）n展开后应有什么规律，这里n∈N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.

选择实验归纳的研究方式，对（a+b）n一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：

先写出前n项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：

大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究（a+b）4的展开，因（a+b）4=（a+b）3（a+b），我们可以用（a+b）3展开的结论计算（a+b）4（由学生板演完成，体会计算规律）然后老师把计算过程总结为如下形式：

（a+b）4=（a+b）3（a+b）=（a3+3a2b+3ab2+b3）（a+b）=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

对计算的化算：

对（a+b）n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？

学生：

a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：

大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的（n+1）项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用来表示，它这样一来（a+b）n的展开形式就可写成（a+b）n=现在的问题就是要找的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算

2007年高考题

1．（2007年江苏卷）若对于任意实数，有，则的值为（B）

A．B．C．D．

2．（2007年湖北卷）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为

A.3B.5C.6D.10

【答案】：

B.

【分析】：

，

，（）。

.

【高考考点】：

本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力.

【易错点】：

注意二项式定理的通项公式中项数与r的关系。

【高备考提示】：

二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。

3．（2007年江西卷）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（　C　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

4．（2007年全国卷I）的展开式中，常数项为，则（D）

A．B．C．D．

5．（2007年全国卷Ⅱ）的展开式中常数项为．（用数字作答）

6．（2007年天津卷）若的二项展开式中的系数为，则　2　（用数字作答）．

7．（2007年重庆卷）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（B）

A10B.20C.30D.120

8．（2007年安徽卷）若（2x3+）a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于7.

9．（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是32．

第1行　　　　　11

第2行101

第3行1111

第4行10001

第5行110011

……………………………………………

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

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幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那