圆锥曲线经典题目(含答案).doc

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圆锥曲线经典题型

一．选择题（共10小题）

1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（　　）

A．（1，） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（1，）∪（，+∞）

2．已知M（x0，y0）是双曲线C：

=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．（2，+∞） B．（1，2） C．（1，） D．（，+∞）

6．已知双曲线C：

的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．2

7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（　　）

A． B． C．y=2x D．y=4x

8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．（，+∞） B．（1，） C．（2．+∞） D．（1，2）

9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（　　）

A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

10．已知F是双曲线C：

x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是　　．

12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为　　．

三．解答题（共4小题）

13．已知点F1、F2为双曲线C：

x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．

14．已知曲线C1：

﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：

+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．

（Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：

x=，垂足为C，求证：

直线AC恒过x轴上一定点．

15．已知双曲线Γ：

的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．

（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；

（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？

若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．

16．已知双曲线C：

的离心率e=，且b=．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．

一．选择题（共10小题）

1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（　　）

A．（1，） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（1，）∪（，+∞）

【解答】解：

∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，

∴1＞b＞0或b＞1．

∴e==＞1且e≠．

故选：

D．

2．已知M（x0，y0）是双曲线C：

=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：

由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，

所以﹣＜y0＜．

故选：

A．

3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：

取PF2的中点A，则

∵，

∴⊥

∵O是F1F2的中点

∴OA∥PF1，

∴PF1⊥PF2，

∵|PF1|=3|PF2|，

∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，

∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，

∴10a2=4c2，

∴e=

故选C．

4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

【解答】解：

设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），

由=2，可得B（﹣，﹣），

把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，

即=1，整理可得c=a，

即离心率e==．

故选：

C．

5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．（2，+∞） B．（1，2） C．（1，） D．（，+∞）

【解答】解：

∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径，即

∴b2＜a2，

∴c2=a2+b2＜2a2，

∴e=＜

∵e＞1

∴1＜e＜

故选C．

6．已知双曲线C：

的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．2

【解答】解：

设F（c，0），渐近线方程为y=x，

可得F到渐近线的距离为=b，

即有圆F的半径为b，

令x=c，可得y=±b=±，

由题意可得=b，

即a=b，c==a，

即离心率e==，

故选C．

7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（　　）

A． B． C．y=2x D．y=4x

【解答】解：

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，

又|PF1|=2|PF2|，

得|PF2|=2a，|PF1|=4a；

在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，

∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，

则b2=4a2．即b=2a，

双曲线=1一条渐近线方程：

y=2x；

故选：

C．

8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．（，+∞） B．（1，） C．（2．+∞） D．（1，2）

【解答】解：

∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1

∴3a2＜b2，

∴c2=a2+b2＞4a2，

∴e=＞2

故选：

C．

9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（　　）

A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

【解答】解：

由双曲线的一条渐近线方程为y=x，

可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），

代入点P（2，），可得

λ=4﹣2=2，

可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，

即为﹣=1．

故选：

B．

10．已知F是双曲线C：

x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：

由双曲线C：

x2﹣=1的右焦点F（2，0），

PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，

则P（2，3），

∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，

∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，

同理当y＜0时，则△APF的面积S=，

故选D．

二．填空题（共2小题）

11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是　20　．

【解答】解：

∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8

∵双曲线x2﹣=1的通径为==8

∵PQ=8

∴PQ是双曲线的通径

∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4

∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2

∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12

∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，

故答案为20．

12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为　　．

【解答】解：

取PF2的中点A，则

∵，

∴2•=0，

∴，

∵OA是△PF1F2的中位线，

∴PF1⊥PF2，OA=PF1．

由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，

∵|PF1|=|PF2|，

∴|PF2|=，|PF1|=．

△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，

∴（）2+（）2=4c2，

∴e=．

故答案为：

．

三．解答题（共4小题）

13．已知点F1、F2为双曲线C：

x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．

【解答】解：

（1）设F2，M的坐标分别为，

因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，

在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）

由双曲线的定义可知：

故双曲线C的方程为：

…（6分）

（2）由条件可知：

两条渐近线分别为…（8分）

设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，

则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）

因为Q（x0，y0）在双曲线C：

上，

所以，又cosθ=，

所以=﹣…（14分）

14．已知曲线C1：

﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：

+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．

（Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：

x=，垂足为C，求证：

直线AC恒过x轴上一定点．

【解答】（Ⅰ）解：

由题知：

a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）

∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，

∴=即a2=b2，…（3分）

∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）

（Ⅱ）证明：

由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：

x=ny+…（5分）

与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）

由题可设点C（，y2），

由点斜式得直线AC的方程：

y﹣y2=（x﹣）…（9分）

令y=0，可得x===…（11分）

∴直线AC过定点（，0）．