命题与关系充分条件和必要条件知识点和题型归纳Word下载.docx
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等于（=）
大于（>
）
小于（<
是
否定词语
不等于（≠）
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
都是
至多有一个
至多有n个
或
不都是
至少有两个
至少有n+1个
且
至少有一个
任意两个
所有的
任意的
一个也没有
某两个
某些
某个
知识点二充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件的概念
（1）充分条件：
pq则p是q的充分条件
即只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，
亦即要使q成立，有p成立就足够了，即有它即可。
（2）必要条件：
pq则q是p的必要条件
pqqp
即没有q则没有p，亦即q是p成立的必须要有的
条件，即无它不可。
（补充）（3）充要条件
pq且qp即pq
则p、q互为充要条件（既是充分又是必要条件）“p是q的充要条件”也说成“p等价于q”、“q当且仅当p”等
（补充）2、充要关系的类型
（1）充分但不必要条件
定义：
若pq，但qp，
则p是q的充分但不必要条件；
（2）必要但不充分条件
若q
p，但pq，
则p是q的必要但不充分条件
（3）充要条件
若pq，且qp，即pq，
则p、q互为充要条件；
（4）既不充分也不必要条件
若pq，且qp，
则p、q互为既不充分也不必要条件．
3、判断充要条件的方法：
《名师一号》P6特色专
题
①定义法；
②集合法；
③逆否法（等价转换法）．
逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性
集合法----利用集合的观点概括充分必要条件
若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的
形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．
（1）若AB，则p是q的充分但不必要条件
（2）若BA，则p是q的必要但不充分条件
（3）若
（4）若
AB，则p是q的充要条件
AB，且AB，
则p是q的既不必要也不充分条件
（补充）简记作----若A、B具有包含关系，则
（1）小范围是大范围的充分但不必要条件
（2）大范围是小范围的必要但不充分条件
二、例题分析
（一）四种命题及其相互关系
例1.
（1）《名师一号》P4对点自测1
命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题
是（）
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
答案C
例1.
（2）《名师一号》P5高频考点例1
下列命题中正确的是（）
①“若a≠0，则ab≠0”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>
0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
1
④“若x－32是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④
解析:
①中否命题为“若a＝0，则ab＝0”，正确；
②中逆命题不正确；
③中，＝1＋4m，当m>
0时，>
0，原命题正确，
故其逆否命题正确；
④中原命题正确故逆否命题正确．
答案B
《名师一号》P5高频考点例1规律方法在判断四个命题之间的关系时，
首先要分清命题的条件与结论，
再比较每个命题的条件与结论之间的关系．
要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；
判定命题为真命题时要进行推理，
判定命题为假命题时只需举出反例即可．
对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．
例1.（3）《名师一号》P4
对点自测2
（2014·
陕西卷）原命题为“若
z
1，2互为共轭复数，则|1|
＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断
依次如下，正确的是（）
A．真，假，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
解析易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，
设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，
但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，
同时否命题也为假．
《名师一号》P5问题探究问题2
四种命题间关系的两条规律
（1）逆命题与否命题互为逆否命题；
互为逆否命题的两个命题同真假．
（2）当判断一个命题的真假比较困难时，
可转化为判断它的逆否命题的真假．
同时要关注“特例法”的应用．
例2．
（1）补充）
（2011山东文5）已知a，b，c∈R，命题“若ab
c=3，
则a2
b2
c2
≥3”的否命题是（
．．．
（A）若a+b+c≠3，则a2
<
3
（B）若a+b+c=3
，则a2
3来源XK]
（C）若a+b+c≠3，则a2
≥3
（D）若a2
c2≥3，则a+b+c=3
【答案】A来
【解析】命题“若p，则q”的否命题是：
“若p，则q”
例2．
（2）（补充）
命题：
“若xy
，则
x0
或y
．．
”的否定是：
________
【答案】若xy0，则x0且y0
【解析】命题的否定只改变命题的结论。
命题的否定与否命题的区别
（二）充要条件的判断与证明
例1.
（1）补充）（07湖北）已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。
现有下列命题：
①s是q的充要条件；
②p是q
的充分条件而不是必要条件；
③r是q的必要条件而不是充分条件；
④p是s的必要条件而不是充分条件；
⑤r是
s的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）
A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤
prq
答案:
Ｂ
s
1、利用定义判断充要条件
《名师一号》P6特色专题方法一定义法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题
——“若
p
q
”与“若，则
”的判断，
根据两个命题是否正确，来确定
p与q之间的充要关系．
pq则p是q的充分条件；
q是p的必要条件
2、利用逆否法判断充要条件
《名师一号》P6特色专题方法三等价转化法
当所给命题的充要条件不好判定时，可利用四种命题的关系，对命题进行等价转换．常利用原命题与逆命题的真假来判断p与q的关系．令p为命题的条件，q为命题的结论，具体对应关系如下：
①如果原命题真而逆命题假，
那么p是q的充分不必要条件；
②如果原命题假而逆命题真，
那么p是q的必要不充分条件；
③如果原命题真且逆命题真，
那么p是q的充要条件；
④如果原命题假且逆命题假，
那么p是q的既不充分也不必要条件．
简而言之,逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价
性
例1.
（2）《名师一号》P6
特色专题
例1
北京卷）设{n}是公比为
的等比数列．
a
则“>
1”是“{n}为递增数列”的（
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【规范解答】
若q>
1，则当a1＝－1时，an＝－qn－1，{an}为递减数列，所以“q>
1”?
/“{an}为递增数列”；
若{
n}为递增数列，则当
n＝－
1n
时，1＝－，＝<
1，
2
即“{
n}为递增数列”?
/“>
1”．故选D.
例1.（3）《名师一号》P6特色专题例2
湖北卷）设U为全集．A，B是集合，则“存在集
合C使得AC，B?
UC”是“A∩B＝”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件
【规范解答】如图可知，存在集合C，使AC，
B?
UC，则有A∩B＝.若A∩B＝，显然存在集合C.
满足AC，B?
UC.故选C.
例1.（4）《名师一号》P4对点自测5
已知p：
－4<
k<
0，q：
函数y＝kx2－kx－1的值
恒为负，则p是q成立的（）
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