专题14 利用导数研究函数的单调性备战高考数学理一轮复习考点通.docx

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专题14利用导数研究函数的单调性备战高考数学理一轮复习考点通

专题14利用导数研究函数的单调性

基础知识要夯实

1.函数的单调性与导数的关系

函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，

（1）若f′（x）>0，则f（x）在区间（a，b）内是单调递增函数；

（2）若f′（x）<0，则f（x）在区间（a，b）内是单调递减函数；

（3）若恒有f′（x）＝0，则f（x）在区间（a，b）内是常数函数．

讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.

2.常用结论汇总——规律多一点

（1）在某区间内f′（x）>0（f′（x）<0）是函数f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件．

（2）可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对∀x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）且f′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零．

基本技能要落实

（1）若函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f′（x）>0.（　　）

（2）如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性．（　　）

（3）在（a，b）内f′（x）≤0且f′（x）＝0的根有有限个，则f（x）在（a，b）内是减函数．（　　）

【答案】

（1）×　

（2）√　（3）√

（二）选一选

1．函数f（x）＝cosx－x在（0，π）上的单调性是（　　）

A．先增后减　　　　　　　B．先减后增

C．增函数D．减函数

【答案】D

【解析】∵f′（x）＝－sinx－1＜0，

∴f（x）在（0，π）上是减函数，故选D.

2．函数f（x）＝x－lnx的单调递减区间为（　　）

A．（0,1）B．（0，＋∞）

C．（1，＋∞）D．（－∞，0），（1，＋∞）

【答案】A

【解析】函数的定义域是（0，＋∞），且f′（x）＝1－＝，令f′（x）<0，得0

3．若函数f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2]B．（－∞，－1]

C．[2，＋∞）D．[1，＋∞）

【答案】D

【解析】因为f（x）＝kx－lnx，所以f′（x）＝k－.因为f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，所以当x>1时，f′（x）＝k－≥0恒成立，即k≥在区间（1，＋∞）上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.

（三）填一填

4．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间为________．

【答案】（2，＋∞）

【解析】f′（x）＝[（x－3）ex]′＝ex＋（x－3）ex＝（x－2）ex.令f′（x）>0，解得x>2.故所求单调递增区间为（2，＋∞）．

5．已知函数f（x）＝－x3＋ax2－x－1在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．

【答案】[－，]

【解析】由题意知f′（x）＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.

核心素养要做实

[典例]　已知函数f（x）＝lnx＋－（a∈R且a≠0），讨论函数f（x）的单调性．

【解析】　f′（x）＝（x>0），

①当a<0时，f′（x）>0恒成立，

∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

②当a>0时，由f′（x）＝>0，得x>；

由f′（x）＝<0，得0

∴函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当a<0时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

当a>0时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．

[解题技法]　讨论函数f（x）单调性的步骤

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求导数f′（x），并求方程f′（x）＝0的根；

（3）利用f′（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性．

[提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

[题组训练]

1．函数f（x）＝ex－在定义域内为________函数（填“增”或“减”）．

【答案】增

【解析】由已知得函数f（x）的定义域为{x|x≠－1}．

∵f（x）＝ex－，∴f′（x）＝ex＋>0.

∴f（x）在定义域内为增函数．

2．已知函数f（x）＝alnx＋x2（a∈R且a≠0），讨论函数f（x）的单调性．

【解析】函数f（x）的定义域为（0，＋∞）．

因为f（x）＝alnx＋x2，所以f′（x）＝＋2x＝.

①当a>0时，f′（x）>0，

所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

②当a<0时，令f′（x）＝0，解得x＝（负值舍去），

当0

所以函数f（x）在上单调递减；

当x>时，f′（x）>0，

所以函数f（x）在上单调递增．

综上所述，当a>0时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

当a<0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．

[典例]　（2020·湘东五校联考节选）已知函数f（x）＝（lnx－k－1）x（k∈R）．当x>1时，求f（x）的单调区间．

【解析】f′（x）＝·x＋lnx－k－1＝lnx－k，

①当k≤0时，因为x>1，所以f′（x）＝lnx－k>0，

所以函数f（x）的单调递增区间是（1，＋∞），无单调递减区间．

②当k>0时，令lnx－k＝0，解得x＝ek，

当1ek时，f′（x）>0.

所以函数f（x）的单调递减区间是（1，ek），单调递增区间是（ek，＋∞）．

综上所述，当k≤0时，函数f（x）的单调递增区间是（1，＋∞），无单调递减区间；当k>0时，函数f（x）的单调递减区间是（1，ek），单调递增区间是（ek，＋∞）．

[解题技法]　利用导数求函数单调区间的方法

（1）当导函数不等式可解时，解不等式f′（x）>0或f′（x）<0求出单调区间．

（2）当方程f′（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′（x）的符号，从而确定单调区间．

（3）若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′（x）结构特征，利用图象与性质确定f′（x）的符号，从而确定单调区间．

[提醒]　若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．

[题组训练]

1．若幂函数f（x）的图象过点，则函数g（x）＝exf（x）的单调递减区间为（　　）

A．（－∞，0）　　　　　　　　B．（－∞，－2）

C．（－2，－1）D．（－2,0）

【答案】D

【解析】设幂函数f（x）＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f（x）＝x2，故g（x）＝exx2，令g′（x）＝exx2＋2exx＝ex（x2＋2x）<0，得－2

2．已知函数f（x）＝－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间．

【解析】

（1）对f（x）求导得f′（x）＝－－，

由f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x，

知f′

（1）＝－－a＝－2，解得a＝.

（2）由

（1）知f（x）＝－lnx－（x>0），

则f′（x）＝，令f′（x）＝0，

解得x＝－1或x＝5，

因为x＝－1不在f（x）的定义域（0，＋∞）内，所以舍去．

当x∈（0,5）时，f′（x）<0，故f（x）在（0,5）内单调递减；

当x∈（5，＋∞）时，f′（x）>0，故f（x）在（5，＋∞）内单调递增．

故f（x）的单调递减区间是（0,5），单调递增区间是（5，＋∞）．

[典例]　设函数f（x）＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1.

（1）求b，c的值；

（2）设函数g（x）＝f（x）＋2x，且g（x）在区间（－2，－1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

【解析】

（1）f′（x）＝x2－ax＋b，

由题意得即

（2）由

（1）知f（x）＝x3－x2＋1，

则g′（x）＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈（－2，－1），

使不等式g′（x）＝x2－ax＋2<0成立，

即x∈（－2，－1）时，a

当且仅当x＝，即x＝－时等号成立．

所以满足要求的a的取值范围是（－∞，－2）．

[变透练清]

1.本例

（2）变为：

若g（x）在（－2，－1）内为减函数，其他条件不变，求实数a的取值范围．

【解析】∵g′（x）＝x2－ax＋2，且g（x）在（－2，－1）内为减函数，

∴x2－ax＋2≤0在（－2，－1）内恒成立，

∴即解得a≤－3.

即实数a的取值范围是（－∞，－3]．

2.本例

（2）变为：

若g（x）的单调递减区间为（－2，－1），其他条件不变，求实数a的值．

【解析】∵g（x）的单调递减区间为（－2，－1），

∴x1＝－2，x2＝－1是g′（x）＝0的两个根，

∴（－2）＋（－1）＝a，即a＝－3.

3.本例

（2）变为：

若g（x）在（－2，－1）内不单调，其他条件不变，求实数a的取值范围．

【解析】由1知g（x）在（－2，－1）内为减函数时，实数a的取值范围是（－∞，－3]．

若g（x）在（－2，－1）内为增函数，则a≥x＋在（－2，－1）内恒成立，

又∵y＝x＋在（－2，－）内单调递增，在（－，－1）内单调递减，

∴y＝x＋的值域为（－3，－2），

∴实数a的取值范围是[－2，＋∞），

∴函数g（x）在（－2，－1）内单调时，a的取值范围是（－∞，－3]∪[－2，＋∞），

故g（x）在（－2，－1）上不单调时，实数a的取值范围是（－3，－2）．

[解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法

（1）由可导函数f（x）在D上单调递增（或递减）求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．

（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′（x）>0（或f′（x）<0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．

（3）若已知f（x）在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．

达标检测要扎实

1．函数f（x）＝3＋xlnx的单调递减区间是（　　）

A.　　　　　　　B.

C.D.

【答案】B

【解析】因为函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝lnx＋x·＝lnx＋1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜，所以f（x）的单调递减区间是.

2．已知函数f（x）＝x2（x－m），m∈R，若f′（－1）＝－1，则函数f（x）的单调递增区间是（　　）

A.B.C.，（0，＋∞）D.∪（0，＋∞）

【答案】C

【解析】∵f′（x）＝3x2－2mx，

∴f′（－1）＝3＋2m＝－1，解得m＝－2，

由f′（x）＝3x2＋4x＞0，解得x＜－或x＞0，

即f（x）的单调递增区间是，（0，＋∞）．

3．下列函数中，在（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．f（x）＝sin2xB．f（x）＝xex

C．f（x）＝x3－xD．f（x）＝－x＋lnx

【答案】B

【解析】对于A，f（x）＝sin2x的单调递增区间是（k∈Z）；对于B，f′（x）＝ex（x＋1），当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0，∴函数f（x）＝xex在（0，＋∞）上