专题14 利用导数研究函数的单调性备战高考数学理一轮复习考点通.docx

1、专题14 利用导数研究函数的单调性备战高考数学理一轮复习考点通专题14 利用导数研究函数的单调性基础知识要夯实1.函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f(x)0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f(x)0(f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)在(a，b)内f(x)0且f(x)0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数()【答案】 (1)(2)(3)(二)选一选1函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减 B先减后增C增函数 D减函数【答案】D【解析

2、】f(x)sin x10，f(x)在(0，)上是减函数，故选D.2函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0,1) B(0，)C(1，) D(，0)，(1，)【答案】A【解析】函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，得0x1时，f(x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立因为x1，所以00，解得x2.故所求单调递增区间为(2，)5已知函数f(x)x3ax2x1在R上单调递减，则实数a的取值范围是_【答案】 ， 【解析】由题意知f(x)3x22ax10在R上恒成立，所以4a2120，解得a.核心素养要做实 典例已知函数f(x)ln x (aR且a0)，讨论函数f(x)的单调性

3、【解析】f(x) (x0)，当a0恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减解题技法讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)，并求方程f(x)0的根；(3)利用f(x)0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性提醒研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论题组训练1函数f(x)ex在定义域内为_函数(填“增”或“减

4、”)【答案】增【解析】由已知得函数f(x)的定义域为x|x1f(x)ex，f(x)ex0.f(x)在定义域内为增函数2已知函数f(x)aln xx2(aR且a0)，讨论函数f(x)的单调性【解析】函数f(x)的定义域为(0，)因为f(x)aln xx2，所以f(x)2x.当a0时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令f(x)0，解得x (负值舍去)，当0x时，f(x)时，f(x)0，所以函数f(x)在上单调递增综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，求f(x)的单调区间【解析】f(x)xln xk1ln xk，当k0时，因为x1，所以f(x)ln

5、 xk0，所以函数f(x)的单调递增区间是(1，)，无单调递减区间当k0时，令ln xk0，解得xek，当1xek时，f(x)ek时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，)综上所述，当k0时，函数f(x)的单调递增区间是(1，)，无单调递减区间；当k0时，函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，)解题技法利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)0或f(x)0求出单调区间(2)当方程f(x)0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f(x)的符号，从而确定单调区间(

6、3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f(x)结构特征，利用图象与性质确定f(x)的符号，从而确定单调区间提醒若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开题组训练1若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)exf(x)的单调递减区间为()A(，0) B(，2)C(2，1) D(2,0)【答案】D【解析】设幂函数f(x)x，因为图象过点，所以，2，所以f(x)x2，故g(x)exx2，令g(x)exx22exxex(x22x)0，得2x0)，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5，因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，所以舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内单调递增故f(x)的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，) 典例设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围【解析】(1)f(x)x2axb，由题意得即 (2)由(1)知f(x)x3x21，则g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，a0(或f(x)0，函数f(x)xex在(0，)上