第一章 111Word下载.docx
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(4)普遍性:
一个确定的算法,应该能够解决一类问题.
(5)不唯一性:
求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,也可以有不同的算法.
特别提醒:
判断一个问题是不是算法,关键是明确算法的含义及算法的特征.
知识点三 算法的设计
思考 自然语言是唯一描述算法的语言吗?
答案 不是.描述算法可以有不同的方式,常用的有自然语言、框图(流程图)、程序设计语言等.
梳理
(1)设计算法的目的
设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法,它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤,然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,从而达到让计算机执行的目的.
(2)设计算法的要求
①写出的算法必须能解决一类问题.
②要使算法尽量简单、步骤尽量少.
③要保证算法步骤有效,且计算机能够执行.
1.算法是解决一个问题的方法.( ×
)
2.一个算法可以产生不确定的结果.( ×
3.算法的步骤必须是明确的、有限的.( √ )
类型一 算法概念的理解
例1 下列关于算法的说法,正确的个数有( )
①求解某一类问题的算法是唯一的;
②算法必须在有限步操作之后停止;
③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊;
④算法执行后一定产生确定的结果.
A.1B.2
C.3D.4
考点 算法的概念
题点 算法概念的辨析
答案 C
解析 由于算法具有有限性、确定性等特点,因而②③④正确,而解决某类问题的算法不一定唯一,从而①错.
反思与感悟 算法实际上是解决问题的一种程序性方法,它通常用来解决某一个或某一类问题,在用算法解决问题时,体现了特殊与一般的数学思想.
跟踪训练1 下列说法中是算法的有________.(填序号)
①从上海到拉萨旅游,先坐飞机,再坐客车;
②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项,系数化为1;
③求以A(1,1),B(-1,-2)两点为端点的线段AB的中垂线方程,可先求出AB的中点坐标,再求kAB及中垂线的斜率,最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线方程;
④求1×
2×
3×
4的值,先计算1×
2=2,再计算2×
3=6,6×
4=24,得最终结果为24;
⑤
x>2x+4.
题点 算法的步骤问题
答案 ①②③④
解析 ①说明了从上海到拉萨的行程安排;
②给出了解一元一次不等式这类问题的解法;
③给出了求线段的中垂线的方法及步骤;
④给出了求1×
4的值的过程并得出结果.
故①②③④都是算法.
类型二 算法的阅读理解
例2 下面算法要解决的问题是__________________________________________________.
第一步,输入三个数,并分别用a,b,c表示.
第二步,比较a与b的大小,如果a<
b,则交换a与b的值.
第三步,比较a与c的大小,如果a<
c,则交换a与c的值.
第四步,比较b与c的大小,如果b<
c,则交换b与c的值.
第五步,输出a,b,c.
考点 算法的特点
题点 算法特点的辨析
答案 输入三个数a,b,c,并按从大到小的顺序输出
解析 第一步是给a,b,c赋值.
第二步运行后a>
b.
第三步运行后a>
c.
第四步运行后b>
c,所以a>
b>
第五步运行后,显示a,b,c的值,且从大到小排列.
反思与感悟 一个算法的作用往往并不显而易见,这需要我们结合具体数值去执行一下才
知道.
跟踪训练2 下面给出了一个问题的算法:
第一步,输入a.
第二步,若a≥3,则执行第三步,否则执行第四步.
第三步,输出a+5.
第四步,输出3a+4.
这个算法解决的问题是_________________________________________________________.
题点 具体问题的算法设计
答案 求函数f(x)=
当x=a时的函数值f(a).
类型三 算法的设计与应用
例3 有一个底面半径为3,母线为5的圆锥,写出求该圆锥体积的算法.
考点 算法的设计与应用
题点 数值型的算法设计
解 如图,先给r,l赋值,计算h,再根据圆锥体积公式V=
πr2h计算V,然后输出结果.
第一步,令r=3,l=5.
第二步,计算h=
.
第三步,计算V=
πr2h.
第四步,输出运算结果.
反思与感悟 利用公式解决问题时,必须先求出公式中的各个量,在设计算法时,应优先考虑未知量的求法.
跟踪训练3 已知一个等边三角形的周长为a,求这个三角形的面积.设计一个算法解决这个问题.
题点 其它数值型的算法设计
解 第一步,输入a的值.
第二步,计算l=
的值.
第三步,计算S=
×
l2的值.
第四步,输出S的值.
例4 所谓正整数p为素数是指:
p的所有约数只有1和p.例如,35不是素数,因为35的约数除了1,35外,还有5与7;
29是素数,因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n(n>1)是否为素数的算法.
题点 循环型算法设计
解 算法如下:
第一步,给出任意一个正整数n(n>1).
第二步,若n=2,则输出“2是素数”,判断结束.
第三步,令m=1.
第四步,将m的值增加1,仍用m表示.
第五步,如果m≥n,则输出“n是素数”,判断结束.
第六步,判断m能否整除n,
①如果能整除,则输出“n不是素数”,判断结束;
②如果不能整除,则转第四步.
反思与感悟 设计一个具体问题的算法,通常按以下步骤
(1)认真分析问题,找出解决该问题的一般数学方法.
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述.
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤.
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.
跟踪训练4 判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计?
解 第一步,给定大于2的整数n.
第二步,令i=2.
第三步,用i除n,得到余数r.
第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则n不是质数,结束算法;
否则,将i的值增加1,仍用i表示.
第五步,判断“i>
(n-1)”是否成立.若是,则n是质数,结束算法;
否则,返回第三步.
1.下列关于算法的说法正确的是( )
A.一个算法的步骤是可逆的
B.描述算法可以有不同的方式
C.算法可以看成是按照要求设计好的、有限的、确切的计算序列,并且这样的步骤或序列只能解决当前问题
D.算法只能用一种方式显示
答案 B
解析 由算法的定义知A,C,D错.
2.计算下列各式中S的值,能设计算法求解的是( )
①S=
+
+…+
;
②S=
+…;
③S=
(n≥1,n∈N*).
A.①②B.①③C.②③D.①②③
题点 判断问题是否可以设计算法求解
解析 由算法的有限性知②不能设计算法求解,①③都能通过有限步输出确定结果.
3.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步:
(1)计算c=
(2)输入直角三角形两直角边长a,b的值;
(3)输出斜边长c的值.
其中正确的顺序是________.
答案
(2)
(1)(3)
解析 算法的步骤是有先后顺序的,第一步是输入,最后一步是输出,中间的步骤是赋值、计算.
4.下面是解决一个问题的算法:
第一步:
输入x.
第二步:
若x≥4,转到第三步;
否则转到第四步.
第三步:
输出2x-1.
第四步:
输出x2-2x+3.
当输入x的值为________时,输出的数值最小值为________.
答案 1 2
解析 所给算法解决的问题是求分段函数f(x)=
的函数值问题,当x≥4时,f(x)=2x-1≥2×
4-1=7;
当x<4时,f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以f(x)min=2,此时x=1.即输入x的值为1时,输出的数值最小,最小值为2.
5.写出解二元一次方程组
的算法.
题点 解方程组的算法设计
解 第一步,①+2×
②得7x=1.③
第二步,解③得x=
第三步,②×
3-①×
2得7y=5.④
第四步,解④得y=
第五步,得到方程组的解为
1.算法的特点:
有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性.
2.算法设计的要求:
(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数,求任意一个方程的近似解等),并且能够重复使用.
(2)要使算法尽量简单,步骤尽量少.
(3)要保证算法正确,且算法步骤能够一步一步执行,每步执行的操作必须确切,不能含混不清,而且在有限步后能得到结果.
一、选择题
1.下列可以看成算法的是( )
A.学习数学时,课前预习,课上认真听讲并记好笔记,课下先复习再做作业,之后做适当的练习题
B.今天餐厅的饭真好吃
C.这道数学题难做
D.方程2x2-x+1=0无实数根
答案 A
解析 A是学习数学的一个步骤,所以是算法.
2.在用二分法求方程零点的算法中,下列说法正确的是( )
A.这个算法可以求所有的零点
B.这个算法可以求任何方程的零点
C.这个算法能求所有零点的近似解
D.这个算法可以求变号零点的近似解
答案 D
解析 二分法的理论依据是函数的零点存在性定理.它解决的是求变号零点的问题,并不能求所有零点的近似值.
3.有蓝、黑两个墨水瓶,但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中,黑墨水错装在了蓝墨水瓶中,要求将其互换,现有空墨水瓶若干,解决这一问题最少需要的步骤数为( )
A.2B.3C.4D.5
题点 应用问题的算法设计
解析 第一步,将蓝墨水装到一个空墨水瓶中;
第二步,将黑墨水装到黑墨水瓶中;
第三步,将蓝墨水装到蓝墨水瓶中,这样就解决了这个问题,故选B.
4.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个过程.下列选项中最好的一种算法是( )
A.第一步,洗脸刷牙.第二步,刷水壶.第三步,烧水.第四步,泡面.第五步,