全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
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全国高中数学联赛试题及详细解析
2012年全国高中数学联赛一试
参考答案及详细评分标准
一、填空题：
本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．
1.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向
直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是．
2.设的内角的对边分别为，且满足，
则的值是.
3.设，则的最大值是.
4.抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的
两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，
则的最大值是.
5．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是．
6.设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．
7.满足的所有正整数的和是．
8.某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）
二、解答题：
本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
9.（本小题满分16分）已知函数
（1）若对任意，都有，求的取值范围；
（2）若，且存在，使得，求的取值范围．
10.（本小题满分20分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有
（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;
（2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，
求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11.（本小题满分20分）
如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．
（1）求证：
为定值；
（2）当点A在半圆（）上运动时，
求点的轨迹．
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、（本题满分40分）
如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得设和的外心分别为，求证：
三点共线。
二、（本题满分４０分）
试证明：
集合满足
（1）对每个，及，若，则一定不是的倍数；
（2）对每个（其中表示在Ｎ中的补集），且，必存在，，使是的倍数．
三、（本题满分５０分）
设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为
求证：
四、（本题满分５０分）
设，ｎ是正整数．证明：
对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数ｘ的最大整数．
参考答案及详细评分标准
2012年全国高中数学联赛一试
一、填空题
1.【答案】-1
【解析】方法1:
设则直线的方程为即
由
又所以故
2.【答案】4
【解析】由题设及余弦定理得,即故.
3.【答案】
【解析】不妨设则
因为
所以
当且仅当时上式等号同时成立.故
4.【答案】1
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得
在中,由余弦定理得
当且仅当时等号成立.故的最大值为1.
5.【答案】4
【解析】如图.连结,则平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,则为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,则
从而,因为
所以即
所以,故
6.【答案】
【解析】由题设知,则因此,原不等式等价于
因为在上是增函数,所以即又所以当时,
取得最大值因此,解得故的取值范围是
7.【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当时,由此得
所以
故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.
8.【答案】
【解析】用表示第周用种密码的概率,则第周末用种密码的概率为
.于是,有,即由知，是首项为，公比为的等比数列。
所以，即，故
二、解答题
9.【解析】
（1）令则分
对任意,恒成立的充要条件是分
（2）因为所以所以分
因此于是,存在,使得的充要条件是
故的取值范围是分
10.【解析】
（1）当时,,由得.当时,,
由得或‥‥‥‥‥‥‥5分
当时,若得或;若得;
综上,满足条件的三项数列有三个:
1,2,3或1,2,-2或1,-1，1‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
（2）令则从而
两式相减,结合得当时,由
（1）知;
当时,即
所以或‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥15分
又
所以‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分
11.【解析】因为所以山的共线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5分
如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有
（定值）‥‥‥‥10分
（2）设其中则.
因为所以‥‥‥‥‥15分
由
（1）的结论得所以从而
故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为‥‥‥‥‥‥20分
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、【解析】证明：
如图.连接,过点作的垂线交的延长线于点,则
是的外接圆的切线.因此‥‥‥10分
因为
所以‥‥‥‥20分
因而是的外接圆的切线‥‥‥‥‥‥‥‥30分
故
所以三点共线。
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分
二、【解析】证明:
对任意的,设则如果是任意一个小于的正整数,则‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
由于与中,一个为奇数,它不含素因子,另一个是偶数,它含素因子的幂的次数最多为,因此一定不是的倍数；‥‥‥‥‥‥‥20分
若,且设其中为非负整数,为大于的奇数,
则‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分
下面给出
（2）的三种证明方法:
证法一:
令消去得
由于这方程必有整数解;其中为方程的特解.
把最小的正整数解记为则,故使是的倍数．‥‥‥40分
证法二:
由于由中国剩余定理知,同余方程组
在区间上有解即存在使是的倍数．‥‥‥‥40分
证法三:
由于总存在使取使则
存在使
此时因而是的倍数．‥‥‥‥‥40分
三、【解析】证法一:
不妨设先证明:
对任意正整数,都有
显然,对均成立,只有时右边取等号……10分
所以,只要证明当时,有即可.
以为圆心,为半径画个圆,它们两两相离或外切;以圆心，为半径画圆，这个圆覆盖上述个圆‥‥‥‥‥‥‥20分
所以‥‥‥‥‥‥‥30分
由易知‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分
所以对时也成立.
综上,对任意正整数都有.
因而‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥50分
证法二:
不妨设
以为圆心,为半径画个圆,它们两两相离或外切;‥‥‥10分
设是是圆上任意一点,由于
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分
因而,以为圆心,为半径的圆覆盖上述个圆‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分
故‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分
所以‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥50分
四、【解析】证法一:
（1）对任意,有
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
令则‥‥‥‥‥‥‥20分
又令,则
因此存在使得所以‥‥‥‥‥‥‥30分
不然一定存在使得因此
这与矛盾.所以一定存在使得‥‥‥‥‥40分
（2）假设只有有限个正整数使得令则则不存在使得这与
（1）的结论矛盾.
所以数列中有无穷多项属于.终上所述原命题成立‥‥‥‥‥‥‥‥50分
证法二:
（1）
‥‥‥‥‥‥‥10分
因此,当充分大时,可以大于如何一个正数,令则当时,
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分
因此,对于如何大于的正整数总存在使
即否则,一定存在使且
这样就有
而矛盾.故一定存在使得‥‥‥‥30分
令则故一定存在
使,因此‥‥‥‥‥40分
这样的有无穷多个,所以数列中有无穷多项属于‥‥‥‥‥‥50分
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