十特征值与特征向量典型题Word文件下载.docx
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-10
1
=
-1
一1一
■
-k
-
0」
2.（98,填4题，3分）设A为n阶矩阵，|A^0，a*为A的伴随矩阵，E为n
阶单位矩阵，若A有特征值•，则（A*）2E必有特征值（仝）21
k
【分析】本题从特征值、特征向量的定义Ax二’x,x=0进行推导即可
【详解】设Ax=^x（x式0），贝卩A^^—IAAJ^—x,（^0）
九九
即A*^—x从而（A*）2x=f）2x[（A*）2E]x二[（^A）21]x,x=0
Aj/u/u
可见（a*）2e必有特征值eA）21
扎
n-4
3.（99,填4题,3分）设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是n,0,,0
4.
阵A*有一个特征值'
0，属于'
0的一个特征向量为「-（-1,-1,1）T，求a、b、c和■0的
【分析】利用aa^IAe，把A、「0〉转化为朋…・是本题的关键
【详解】根据题设有A^=,又AA=AE=-E于是AAa=Af=九0用,即
故a=c=2,因此匕a=2,b=-3,c=2,'
0=1
5.（03，九题，10分）设矩阵A=
21
2
3
0〕
01
，8=P*A*P，求B+2E
的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵
【分析】可先求出A*,PJ，进而确定B=P」A*P及B+2E,再按通常方法确定其特
征值和特征向量；
或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值
与特征向量，最终根据B+2E与A*2E相似求出其特征值与特征向量。
【详解1】经计算可得
_5
_2
-21
■0
-11
f
7
A*=
-2
5
-2l，pJ
0lB=
=P，A*P=
-4
5j
1J
3」
从而B2E
90
-27
I-2-2
故B+2E的特征值为，i「2=9,・3=3
「=9时，解（9E-A）x=O,得线性无关的特征向量为
【详解2】设A的特征值为■，对应特征向量为，即A-
（B2E）PJ=（△2）PJ
B（P%）=P」A*P（PW）=^A（PW）,于是有
故A的特征值为、V2=1,，3=7
'
ll
当’3=7时，对应的一个特征向量为
因此，B+2E的三个特征值分别为9,9,3
对应于特征值9的全部特征向量为
「01
其中k3为非零的任意常数
对应与特征值3的全部特征向量为k3P^^k3h
6.（06,（21）题,9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素和均为3,向量十（-1,2,-1）丁,：
2=（0,T,1）T是线性方程组Ax=0的两个解
（I）求A的特征值与特征向量
（H）求正交矩阵Q和对角矩阵上,使qtaq二上
【分析】本题为矩阵对角化问题，由于矩阵A未给定，故必须利用行和相等与
实对称矩阵的已知条件求解
【详解】
（I）因为宀,—是齐次方程组Ax=0的两个解，即
所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征值0的代数重数至少是2
已知A各行元素之和均为3,取:
^（1,11T，则A^33，说明3是A的另一个特征值，：
3是对应的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1
因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方阵,故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为匕：
、k2〉2（k1,k2为不全为零的任意
则qtaq二Q’AQ*
2、相似矩阵与相似对角化
解得a--3,b=0,■--1
（I）试确定参数a,b及特征向量所对应的特征值
（H）问A能否相似于对角阵？
说明理由
【分析】本题试一道有关特征值，特征向量以及能否相似与对角阵的问题，A能否相似与对角阵取决于A是否存在3个线性无关的特征向量
（I）由题设，有A，，即
2-12
5a3
—1b—2—1
Xn
<
yn丿
可见•=-1为A的三重根，但秩r（-E-A）=2,从而■=-1对应的线性无关特征向量只有3-r（-E-A）=1个，故A不可对角化2.（00,题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。
6
新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2成为熟练工，设第n年一月份统
计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为Xn和yn，记成向量
值;
【分析】
本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立递推关
系的数学模型；
第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；
第三步相当于求
矩阵的n次幕，可利用对角化得到
（1）由题意，得
521
Xn1Xn（Xnyn）
656
31±
yn1（Xnyn）
56
11
-1,故i为A得特征向量，且相应的特征值'
^1
亠为A的特征向量’且相应的特征值2冷
则由p4ap-
3.（01,十题，8分）已知3阶矩阵A与三维向量X,使得向量组x,Ax,A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x
（1）记P=（x.Ax,A2x），求2阶矩阵B,使A二PBP」；
（2）计算行列式A+E
【分析】第一问实际上是求A的相似矩阵，但这里x,Ax,A2x不一定是特征向量,
所以这并不是通常的相似对角化问题，但仍可采用相似对角化的思想，即将
A=PBP」改写成A吝PB从而确定出B;
在第二问中，根据第一问中确定的B，由A与B相似，可知A+E与B+E也相似，而相似矩阵有相同的行列式，于是根据|A+E』B+E可求出所需要的行列式。
对于本题而言，第二问还有另外一种解法：
由A3x•2A2x-3Ax=0有
（A32A2-3A）^0，即A[（A-E）（A3E）x^，由于X,Ax,A2x线性无关，所以
（A-E）（A+3E）M,0因此，A有一个特征值为0，同理A有特征值—3和1，从而
（1）方法
A（x,Ax,A2x）=（Ax,A2x,A3x）=（Ax,A2x,3Ax-2A2x）
000
=（x,Ax,A2x）103
01-2
也即A=PBP」，其中B=103
01-2_
由于x,Ax,A2x线性无关，故由①式可得耳"
=0,H由②式可得a^c^0,b2-1；
由④式可得a3=0,d=0心=-2
故B=103
01_2_
方法三：
将A3x=3Ax-2A2x改写成A（A?
x-Ax）--3（A2x-Ax）
故-3为A得特征值，A2x-Ax为属于—3得特征向量;
同理可得2=1也是A得特征值，A2X-3AX为对应于特征值1得特征向量;
対=0也是A的特征值，a2
x+2Ax-3x为对应于特征值0的特征向量
[
00-3〕
00-3]
令Q=（x,Ax,A2x）
-132
=P
i
111一
.111一
-31
P」AP
1一
11
于是Q’AQ
_00
-13
B
L
但另一方面，Q为特征向量组成的矩阵，所以
QJAQ为由对应的特征值组成的对
00-3」「30
B=-13201
111_00
-300
角方阵：
Q^AQ=010
所以
000-3000
0-132=103
0—111_.01j一
100
A+E|=B+E|=113=7
01-1
4.（02,十题，8分）设A,B为同阶方阵
（1）如果A,B相似，试证A,B的特征多项式相等
（2）举一个二阶方阵的例子说明
（1）的逆命题不成立
（3）当A,B均为实对称矩阵时，试证
（1）的逆命题成立
【分析】对于本题，主要考查两个同阶矩阵相似的定义以及相似的必要条件而非充分条件；
两实对称方阵相似的充要条件
第一问实际上是一种循环证明，但在证明中可能弄不清应是由谁证谁，在第二
问中，虽特征多项式相等，但并不相似，事实上，二阶方阵当a为二重特征时,
（1）若A,B相似，则存在可逆矩阵P,使得P-1BP=B，故
九E-B=
人E—P」AP
=P-^E—A）P
P」
丸E-A||P|丸E—A
⑵令a£
°
E°
1J则
但AB不相似，否则，存在可逆矩阵P,使B=P，AP=P」P=E，矛盾
（3）由A，B均为实对称矩阵知，A,B均相似于对角阵，若A,B的特征多项式
相等，记特征多项式的根为^/，^，则有
故AB为相似矩阵
-3的特征方程有一个二重根，求
12
5.（04,21题，9分）设矩阵A=-14
.1a
值，并讨论A是否可相似对角化
【分析】先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量,确定A是否可相似对角化即可
【详解】A的特征多项式为
Z-1
Z-22
-人
九
1人
-CL
Z-5
Z-5
:
仏-2）
九_4
=（丸—2）
-0（九
_5
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