十特征值与特征向量典型题Word文件下载.docx

1、-1 01=-1一1 一-k-02. （98,填4题，3分）设A为n阶矩阵，|A0，a*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则（A*）2 E必有特征值（仝）2 1k【分析】本题从特征值、特征向量的定义 Ax二x,x = 0进行推导即可【详解】设 Ax = x（x 式 0），贝卩 A I A AJ x,（0）九 九即 A*x 从而（A*）2x =f）2x （A*）2 Ex 二（A）2 1x,x = 0Aj /u /u可见（a*）2 e必有特征值eA）2 1扎n-43. （ 99,填4题,3分）设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是n,0, ,04.阵A*有一个特征值0，属于0的

2、一个特征向量为-（-1,-1,1）T，求a、b、c和 0的【分析】利用aaIAe，把A、0转化为朋是本题的关键【详解】 根据题设有A = ,又AA = A E= - E于 是AA a = Af=九0用,即故a =c =2,因此匕 a = 2,b = -3,c = 2, 0 =15. （ 03，九题，10分）设矩阵A =212300 1，8 = P*A*P，求 B+ 2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵【分析】可先求出A*,PJ，进而确定B=PA*P及B+ 2E,再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出 A的特征值与特征向量，再相应地确定 A*的特征值与特征向量，

3、最终根据B+ 2E与A* 2E相似求出其特征值与特征向量。【详解1】经计算可得_5_ 2-210-11f7A* =-25-2 l，pJ0 lB =P，A*P =-45 j1 J3从而B 2E9 0-2 7I- 2 - 2故B+ 2E的特征值为，i2=9,3=3=9时，解（9E - A）x = O ,得线性无关的特征向量为【详解2】设A的特征值为，对应特征向量为，即A -（B 2E）PJ =（ 2）PJB（P%） =PA*P（PW） =A（PW）, 于是有故A的特征值为、V2 =1,，3 =7ll当3 =7时，对应的一个特征向量为因此，B+ 2E的三个特征值分别为 9, 9, 3对应于特征值9的

4、全部特征向量为01,其中k3为非零的任意常数对应与特征值3的全部特征向量为k3Pk3 h6.（ 06,（21）题,9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素和均为3,向量 十（-1,2,-1）丁 , ： 2=（0,T,1）T是线性方程组Ax=0的两个解（I）求A的特征值与特征向量（H）求正交矩阵Q和对角矩阵上,使qtaq二上【分析】本题为矩阵对角化问题，由于矩阵 A未给定，故必须利用行和相等与实对称矩阵的已知条件求解【详解】（I）因为宀,是齐次方程组Ax= 0的两个解，即所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故 特征值0的代数重数至少是2已知A各行元素之和均为3,取:（1,11 T

5、，则A 3 3，说明3是A的另一个特 征值，：3是对应的特征向量，且特征值 3的代数重数至少为1因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于 A的阶数，且已知A是3阶方阵, 故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为匕：、k22 （ k1,k2为不全为零的任意则 qtaq 二QAQ*2、相似矩阵与相似对角化解得 a - -3,b =0, - -1（I）试确定参数a,b及特征向量 所对应的特征值（H）问A能否相似于对角阵？说明理由【分析】本题试一道有关特征值，特征向量以及能否相似与对角阵的问题， A能 否相似与对角阵取决于A是否存在3个线性无关的特征向量（I）由题设，有A，即2-125 a 31 b

6、2 1Xnyn丿可见 =-1为A的三重根，但秩r（-E-A）=2 ,从而 =-1对应的线性无关特征向量 只有3- r（-E-A）=1个，故A不可对角化 2. （00, 题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人 数统计，然后将1熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。6新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 2成为熟练工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 Xn和yn，记成向量值;【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第三步相当于求矩阵的n次幕，可利用对角化得到

7、（1）由题意，得52 1Xn 1 Xn （ Xn yn）65 63 1 yn 1 （ Xn yn）5 611-1,故i为A得特征向量，且相应的特征值1亠为A的特征向量且相应的特征值2冷则由p4ap -3. （01,十题，8分）已知3阶矩阵A与三维向量X,使得向量组x,Ax,A2x线性 无关，且满足A3x =3Ax -2A2x（1）记 P = （x. Ax, A2x），求 2 阶矩阵 B,使 A 二 PBP；（2）计算行列式A + E【分析】第一问实际上是求 A的相似矩阵，但这里x, Ax, A2x不一定是特征向量,所以这并不是通常的相似对角化问题，但仍可采用相似对角化的思想，即将A = PBP

8、改写成A吝PB从而确定出B;在第二问中，根据第一问中确定的 B， 由A与B相似，可知A+ E与B+ E也相似，而相似矩阵有相同的行列式，于是 根据|A + EB +E可求出所需要的行列式。对于本题而言，第二问还有另外一种解法：由A3x 2 A2x - 3 Ax = 0有（A3 2A2 -3A）0， 即 A（A- E）（A 3E ）x， 由于 X, Ax, A2x 线性 无关，所以（A - E）（A+ 3E）M ,0因此，A有一个特征值为0，同理A有特征值3和1，从而（1）方法A（x,Ax,A2x） =（Ax,A2x,A3x） =（Ax,A2x,3Ax -2A2x）0 0 0= （x,Ax,A2

9、x） 1 0 30 1 -2也即A = PBP，其中B = 1 0 30 1 -2_由于x,Ax, A2x线性无关，故由式可得 耳=0,H 由式可得ac0,b2 -1；由式可得a3 =0,d =0心=-2故 B= 1 0 30 1 _2_方法三： 将 A3x =3Ax -2A2x改写成 A（A?x - Ax） - -3（A2x- Ax）故-3为A得特征值，A2x-Ax为属于3得特征向量;同理可得2 =1也是A得特征值，A2X-3AX为对应于特征值1得特征向量;対=0也是A的特征值，a2x+2Ax-3x为对应于特征值0的特征向量0 0 -30 0 -3令 Q =（x, Ax, A2x）-13 2

10、=Pi1 1 1 一.1 1 1 一-31PAP1 一1 1于是QAQ_0 0-1 3BL但另一方面，Q为特征向量组成的矩阵，所以QJAQ为由对应的特征值组成的对0 0-33 0B= -1 3 2 0 111 1_0 0-3 0 0角方阵：QAQ= 0 1 0所以0 0 0 -3 0 0 00-132 =1030 11 1 _ .0 1 j 一1 0 0A + E| = B+E| = 1 1 3=70 1 -14. （02,十题，8分）设A,B为同阶方阵（1）如果A, B相似，试证A, B的特征多项式相等（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立（3）当A, B均为实对称矩阵时，试证（

11、1）的逆命题成立【分析】对于本题，主要考查两个同阶矩阵相似的定义以及相似的必要条件而 非充分条件；两实对称方阵相似的充要条件第一问实际上是一种循环证明，但在证明中可能弄不清应是由谁证谁，在第二问中，虽特征多项式相等，但并不相似，事实上，二阶方阵当 a为二重特征时,（1）若A, B相似，则存在可逆矩阵P,使得P-1BP=B，故九E - B =人E PAP=P-E A）PP丸E - A|P| 丸E A令aE1J则但A B不相似，否则，存在可逆矩阵 P,使B = P，AP = PP=E，矛盾（3）由A，B均为实对称矩阵知，A,B均相似于对角阵，若A, B的特征多项式相等，记特征多项式的根为/，则有故A B为相似矩阵-3的特征方程有一个二重根，求1 25. （04, 21 题，9 分）设矩阵 A= -1 4.1 a值，并讨论A是否可相似对角化【分析】先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量, 确定A是否可相似对角化即可【详解】A的特征多项式为Z-1Z-2 2-人九1 人-CLZ -5Z - 5:仏-2）九_4=（丸2）-0（ 九_ 5