MATLAB在数字信号处理中的应用连续信号的采样与重建Word文件下载.docx
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令连续信号xa（t）的傅立叶变换为Xa（jΩ），抽样脉冲序列p（t）傅立叶变换为P（jΩ），抽样后的信号x^（t）的傅立叶变换为X^（jΩ）若采用均匀抽样，抽样周期Ts，抽样频率为Ωs=2πfs，有前面分析可知：
抽样过程可以通过抽样脉冲序列p（t）与连续信号xa（t）相乘来完成，即满足：
x^（t）p（t）,又周期信号f（t）傅立叶变换为：
F[f（t）]=
故可以推得p（t）的傅立叶变换为：
P（jΩ）=
其中：
根据卷积定理可知：
X（jΩ）=
Xa（jΩ）*P（jΩ）
得到抽样信号x（t）的傅立叶变换为：
其表明：
信号在时域被抽样后，他的频率X（jΩ）是连续信号频率X（jΩ）的形状以抽样频率Ωs为间隔周期重复而得到，在重复过程中幅度被p（t）的傅立叶级数Pn加权。
因为只是n的函数，所以X（jΩ）在重复过程中不会使其形状发生变化。
假定信号x（t）的频谱限制在-Ωm~+Ωm的范围内，若以间隔Ts对xa（t）进行抽样信号X^（jΩ）是以Ωs为周期重复。
显然，若早抽样过程中Ωs<
Ωm，则X^（jΩ）将会发生频谱混叠的现象，只有在抽样的过程中满足Ωs>
2Ωm条件，X^（jΩ）才不会产生混频的混叠，在接收端完全可以有x^（t）恢复原连续信号xa（t），这就是低通信号的抽样定理的核心内容。
2、信号的重建
从频域看，设信号最高频率不超过折叠频率：
X（jΩ）=Xa（jΩ）
<
Ωs/2
Xa（jΩ）=0
>
则理想取样后的频谱就不会产生混叠，故有：
X（jΩ）=
让取样信号x^（t）通过这一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器：
H（jΩ）=T
H（jΩ）=0
滤波器只允许通过基带频谱，即原信号频谱，故：
Y（jΩ）=X^（jΩ）H（jΩ）=Xa（jΩ）
因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号；
y（t）=xa（t）
从时域上看，上述理想低通滤波器的脉冲响应为：
根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为：
y（t）=
有上式显然可得：
（t-nT）=sin（π/T）（t-nT）/（π/T）（t-nT）
则：
上式表明只要满足取样频率高于两倍最高频率，连续时间函数xa（t）就可用他的取样值xa（nT）来表达而不损失任何信息，这时只要把每个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa（t），
图1300Hz采样频率对信号的采样图
2、对信号进行快速离散傅立叶变换
将采样信号进行快速离散傅立叶变换（FFT），用300Hz的频率对f（t）进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图如图4所示，程序如下：
f=40;
fs=300
N=300;
k=0:
N-1
t=-0.1:
1/fs:
0.1
w1=300*k/N
fa=5*sin（2*pi*f*t）+1.8*sin（4*pi*f*t）+0.8*sin（5*pi*f*t）
xfa=fft（fa,N）;
xf1=（xfa）;
figure
（1）;
plot（w1,xf1）,xlabel（'
fs=300Hz时,fa经过fft后频谱图.单位:
Hz'
）
图2300Hz采样后经FFT后的频谱图
3.信号的重建
我们可以通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来，观察信号在满足怎样的采样条件下能够恢复原信号，下图为恢复后的信号。
程序如下：
Wm=180*pi;
Wc=Wm;
fs=300;
Ws=2*pi*fs;
n=-800:
800;
nTs=n/fs;
fa=5.1*sin（2*pi*40*nTs）+1.8*sin（4*pi*40*nTs）+0.8*sin（5*pi*40*nTs）
Dt=1/fs;
t1=-0.1:
Dt:
fa1=fa/fs*Wc/pi*sinc（（Wc/pi）*（ones（length（nTs）,1）*t1-nTs'
*ones（1,length（t1））））;
plot（t1,fa1）;
axis（[-0.10.1-88]）
xlabel（'
fs=300Hz,fa利用内插由样本重建原信号图'
）;
图3采样后的信号重建信号图
四、设计结果及分析
图1与图3是300Hz采样频率对信号采样图以及300Hz采样后对信号的重建。
比较两张图可以看出，当fs=300Hz时，满足采样定理。
可以很好的通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来。
五、体会与总结
从信号处理的角度来看，采样定理描述了两个过程：
其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；
其二是信号的重建，这一过程是离散信号还原成连续信号，采样定理建立了模拟信号与数字信号之间的联系，是信号处理中非常重要的一个定理。
如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。
相反，如果已知采样频率，采样定理则给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。
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