函数求值域 小白基础速成神器.docx
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函数求值域小白基础速成神器
函数求值域
（基础篇）
一、九类基本求值域-1-
（一）一次与反比例函数-1-
（二）二次函数-3-
（三）指数函数、对数函数、根号函数-4-
（四）对勾函数与类对勾函数-7-
（五）类反比函数-10-
二、换元法求复合函数值域-14-
（一）复合函数求值域（定义域给出型）-14-
（二）复合函数求值域（定义域未给出型）-15-
三、与一次函数复合-19-
（一）一次函数与反比例函数-19-
（二）一次函数与对勾函数-20-
1.型函数求值域.-20-
2.型函数求值域-23-
3.型函数求值域-24-
4.二次比根式下二次型-25-
5.根式二次比二次型型-27-
三、与二次函数复合-28-
（一）反比例与二次函数-28-
（二）二次函数与指数函数-30-
（三）对数函数与二次函数-31-
（四）类反比函数与二次函数型-32-
（五）根式与二次函数型-33-
一、九类基本求值域
（一）一次与反比例函数
【练习1】画出的示意图.
【答案】
【练习2】画出的图像，并求函数的值域.
【答案】
所以函数的值域为.
【练习3】画出函数图像并求其值域.
【答案】
（二）二次函数
【例1】的值域为_________.
【答案】
【例2】的值域为_________.
【答案】
（三）指数函数、对数函数、根号函数
【例1】画出图像并求出值域.
【答案】
【例2】的值域是_______.
【答案】
【例3】画出的图像，并标出交点.
【答案】
（四）对勾函数与类对勾函数
【例1】求的值域.
【答案】
【练习1-1】求的值域.
【答案】根据倒三角结构
为对勾函数平移后的函数，所以值域为.
【练习1-2】的最小值为_______.
【答案】根据倒三角结构
最小值为-2.
【练习2-1】
【答案】
【练习2-2】
【答案】
【例2】求的值域.
【答案】
（五）类反比函数
【例1】的最大值与最小值.
【答案】
【练习】将下列型函数变形成型函数
【练习1】对进行变形.
【答案】
【练习2】对进行变形.
【答案】
【练习3】对进行变形.
【答案】
【例2】画出的函数图像.
【答案】
【例3】求在[-5,9]上的值域.
【答案】，所以值域为两点之外.
所以值域是.
二、换元法求复合函数值域
（一）复合函数求值域（定义域给出型）
【例1】的值域为_________.
【答案】
.
【例2】值域为________.
【答案】
（二）复合函数求值域（定义域未给出型）
【例1】的值域.
【答案】
【练习1】的值域是_______.
【答案】
定义域给出型
【练习2】的值域为______.
【答案】
定义域未给出型
【练习3】求的值域.
【答案】
三、与一次函数复合
（一）一次函数与反比例函数
一次函数在内部，反比函数在外部的情形比较简单这里就不进行练习了.这里主要研究的是一次函数在外部,反比例函数在内部的情形.
【引入】函数是一个内部反比，外部一次复合的，进行一下通分我们会发现变成了函数，因此倒三角的函数，我们直接劈开，变形成反比例+一次组合，用换元法求值域即可.
【例1】
【答案】
令
（二）一次函数与对勾函数
观察之前对勾函数的练习，我们对分母进行换元，得到对勾函数，如果我们对进行通分整理会发现，，函数变成了这种形式,因此当遇到求值域问题时,我们应当将其转化为一次函数与对勾函数的复合形式,求解值域,如何操作请看下面讲解.
1.型函数求值域.
方法:
【例1】求的值域.
【答案】
【练习1】
【答案】
【练习2】
【答案】
【练习3】
【答案】
2.型函数求值域
【例1】值域.
【答案】
3.型函数求值域
【例1】求的值域.
【答案】
4.二次比根式下二次型
【例1】.
【答案】
【练习】
【答案】
5.根式二次比二次型型
【例1】
【答案】
三、与二次函数复合
（一）反比例与二次函数
这里研究的是：
外部是二次函数，内部是反比例函数
【例1】求函数的值域.
【答案】观察到倒三角结构，所以劈开
【练习1】
【答案】
（二）二次函数与指数函数
这里讨论内部为指数函数，外部为二次函数的情况
【例1】求的值域.
【答案】
【练习1】
【答案】
（三）对数函数与二次函数
这里讨论外部为对数函数，内部为二次函数的函数.
【例1】求的值域为_______.
【答案】
（四）类反比函数与二次函数型
【例1】求值域.
【答案】
（五）根式与二次函数型
【例1】求的值域.
【答案】
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