最新人教版高中数学必修五 简单线性规划问题优质教案文档格式.docx

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2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.

二、过程与方法

1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.

三、情感态度与价值观

1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.

教学过程

第1课时

导入新课

师前面我们学习了二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.

（生回答）

推进新课

［合作探究］

师在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.

例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？

生由已知条件可得二元一次不等式组：

师如何将上述不等式组表示成平面上的区域？

生（板演）

师对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义.

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？

生则z=2x+3y.

师这样，上述问题就转化为：

当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？

［教师精讲］

师把z=2x+3y变形为

这是斜率为

，在y轴上的截距为

z的直线.当z变化时可以得到什么样的图形？

在上图中表示出来.

生当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）

师由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线

，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线

与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距

最大时，z取最大值，因此，问题转化为当直线

与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，使直线经过P时截距

最大.

由图可以看出，当直线

经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距

最大，最大值为

.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.

［知识拓展］

再看下面的问题：

分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l0:

2x+y=0.

然后，作一组与直线l0平行的直线：

l:

2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：

t=2x+y∈［3,12］.

若设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件

求t的最大值和最小值.

分析：

从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.

作一组与直线l0平行的直线：

（1）

从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：

2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0）l:

2x+y=t,t∈R.

可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y）满足2x+y＞0,即t＞0.

而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.

在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以tmax=2×

5+2=12,tmin=2×

1+3=3.

（2）

（3）

师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.

另外注意：

线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：

我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.

那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.

课堂小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.

2.设t=0，画出直线l0.

3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.

4.最后求得目标函数的最大值及最小值.

布置作业

1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；

若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？

将已知数据列成下表：

甲原料（吨）

乙原料（吨）

费用限额

成本

1000

1500

6000

运费

500

400

2000

产品

90

100

解：

设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则

z=90x+100y.

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：

由

得

令90x+100y=t，作直线:

90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（

）时，直线90x+100y=t中的截距最大.

由此得出t的值也最大，zmax=90×

+100×

=440.

答：

工厂每月生产440千克产品.

2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；

又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？

设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，

则

目标函数为z=2x+3y.

作出可行域：

把直线l：

2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取得最大值.

解方程

得M的坐标为（2，3）.

每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.

3.课本106页习题3.3A组2.

第2课时

师前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.

师同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.

生

（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;

（2）设t=0，画出直线l0;

（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解;

（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.

师【例1】已知x、y满足不等式组

试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值.

师分析：

先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.

如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组

得C（

），

令t=300x+900y，

即

欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t的最大值，因直线

与直线

平行，故作

的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×

0+900×

125=112500.

师【例2】求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250，x≥0,y≥0的整数值.

画出