1923 正方形2Word文件下载.docx

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师：

播放课件并提出问题：

1．怎样判定一个四边形是矩形？

2．怎样判定一个四边形是菱形？

3．怎样判定一个四边形是平行四边形？

4．怎样判定一个平行四边形是矩形、菱形？

（目的在于系统复习平行四边形、矩形、菱形的判定方法，让学生通过框架图理清思考方法，为正方形的判定做准备）

议一议：

你有什么办法判定一个四边形是正方形？

二、讲授新课

1．探索正方形的判定条件

学生活动：

四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法．

（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；

（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；

（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形．后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理．矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础．这三个方法还可写成：

有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；

有一组邻边相等的矩形是正方形；

有一个角是直角的菱形是正方形．上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断．

2．正方形判定条件的应用

【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？

并说明理由．

（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；

（2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；

（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（4）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；

（5）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．

师生共析：

（1）真命题．因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形的内角和定理知每个角为90°

，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可判定此命题为真命题．

（2）真命题．四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真．

（3）真命题．方法一对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形．可判定其为真．

方法二：

→正方形

方法三：

（4）假命题．对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以它不一定是正方形．如左下图满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形．

（5）假命题．它可能是任意四边形．如右上图AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形．

总结：

通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用．

【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°

，试说明EF=BE+DF．

要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等，此时可依靠全等三角形来解决．

像这种在EB上补上DF或在FD上补上BE的方法叫做补短法．

解：

将△ADF旋转到△ABG，

则△ADF≌△ABG，

∴AF=AG，∠DAF=∠BAG，DF=BG．

∵∠EAF=45°

且四边形ABCD是正方形，

∴∠DAF+∠BAE=45°

，

∴∠GAB+∠BAE=45°

．

即∠GAE=45°

∴△AEF≌△AEG（SAS）．

∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．

【例3】画一个正方形，使它的对角线长等于30cm，并说明画法的依据．

画法：

1．画线段AC=30cm，取AC的中点O．

2．过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm．

3．连结AB、BC、CD、DA．

则四边形ABCD就是所要画的正方形．

证明：

∵AO=CO，BO=DO，

∴四边形ABCD是平行四边形．

又∵AC=BD，∴

ABCD是矩形．

∵AC⊥BD，

∴

ABCD是菱形．

∴四边形ABCD是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形）．

说明：

由学生分析画法，教师做课件演示，在证明过程中让学生逐一说出判定理由，以加深对正方形的判定方法的认识．

三、随堂练习

课本P112练习3．

（1）、

（2）、（3）、（4）都是正方形．

通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用．

四、课时小结

师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时播放课件，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用．

五、课后作业

习题19．214、15、16、17．

板书设计

19．2．3正方形

（二）

1．正方形的判定方法

2．应用举例

例1例2例3

3．随堂练习

4．小结

5．作业习题19．214、15、16、17

活动与探究

如何设计花坛？

在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路花将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？

（至少说出三种）

（图形如P115的图）

过正方形两条对角线的交点任意作两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分．下面是其中的三种分法．

习题详解

习题19．2

1．是一个矩形．

因为∠1=∠2，所以OB=OC．

又四边形ABCD是平行四边形．

∴OB=OD，OC=OA．

∴AC=BD

由对角线相等的平行四边形是矩形知，四边形ABCD是矩形．

四个角都是直角

四边形是矩形．

3．能得到矩形踏板．

分别与长边垂直方向锯两次，说明对边平行且有两个直角．

矩形

4．∠A=60°

∠B=30°

5．

（1）∠BAD=60°

∠ABC=120°

（2）AB=6cmAC=6

cm

6．

四边形ABCD是菱形．

7．剪口与折痕成45°

的角．

8．矩形．因为四个角都是直角的四边形是矩形．

9．

∠BCD=22.5°

∠DCA=∠B=90°

-∠BCD=67.5°

EC=EA=EB

∠B=∠ECB=67.5，

∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=45°

四边形AMEN是菱形．

同理可证四边形EFCG也是菱形．

11．AD=

=5（cm），

S菱形ABCD=AB·

DH=

AC·

BD，

∴DH=

=4.8（cm）．

12．B（-2

，0），C（0，-2），D（2

，0）．

13．四边形EFMN是正方形，

∵AE=BF=CM=DN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，

∴AN=DM=CF=BE．

又∠EAN=∠MDN=∠FCM=∠EBF=90°

∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF．

∴EF=FM=MN=NE．

∴四边形EFMN是菱形．

又由四个直角三角形全等还可得

∠NEA+∠FEB=90°

∴∠FEN=90°

∴四边形EFMN是正方形．

14．能拼成下列四种四边形．

图

（1）中AB=mDD′=

图

（2）中AB=mDD′=m．

图（3）中AD=hBC′=2

图（4）中BD=nAA′=2

15．∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD．

∵DE⊥AG，

∴∠ADE+∠EAD=90°

又∵BAE+∠EAD=90°

∴∠BAE=∠EDA．

又BF∥DE，∴BF⊥AG．

∴△ABF≌△DAE．

∴AE=BF．

∴AF-BF=AF-AE=EF．

16．作BO的中点M，CO的中点N，连接MN、EM、DN、DE，因为D、E分别是AB、AC的中点，所以ED

BC，MN

BC

所以ED

MN．

于是得四边形EDNM是平行四边形．

所以OM=OD，

而OM=

BO，

所以BO=2OD．

BC边上的中线是过定点O，这是因为取BC的中点H，连OH，NH，DN则DN∥OA．

NH

OB，又OB=2OD，

∴NH

OD．

∴四边形OHND是平行四边形．

∴DN∥OH．

∴点A、O、H三点共线，所以说BC边上的中线过O点．

17．过正方形的中心做两条互相垂直的直线这样即可将正方形分成面积相等的四部分，所以满足要求的方法可以有无数多种．

备课资料

参考例题

【例1】如下图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE．

求证：

AE⊥EG．

分析：

由于CG是角平分线，CA是∠BCD的平分线，于是我们可以判定∠ACG=90°

，因而只要证明∠AEG=∠ACG即可，从图中可以看出，只要证明∠1=∠G就可以得到所求证的结论．

连结AC，并延长AC到M，使CM=CG，连结EM．

∴AC平分∠BCD．

∴∠ECM=135°

又∵CG平分∠DCF，

∴∠GCF=45°

∴∠ECG=135°

∴∠ECG=∠ECM．

而EC=EC，CG=CM．

∴△ECM≌△ECG．

∴∠M=∠G，EM=EG．

而EA=EG，∴EA=EM．

∴∠1=∠M．

∴∠1=∠G而∠2=∠3．

∴∠AEG=∠ACG．

又∵∠ACD=45°

，∠DCG=45°

∴∠ACG=90°

∴∠AEG=90°

即AE⊥EC．

【例2】已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．

（1）求证：

△BEC≌△DFC；

（2）若∠BEC=60°

，求∠EFD的度数．

要证△BEC≌△DFC，则需找全等的条件，由正方形的性质可得出．

要求∠EFD的度数，可由三角形中角的关系求得．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=DC

∠BCD=90°

=∠DCF．

在Rt△BCE和Rt△DCF中，BC=DC，CE=CF．

∴Rt△BC