通信原理樊昌信第二版答案.doc
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《通信原理》习题答案
第一章习题
习题1.1在英文字母中E出现的概率最大，等于0.105，试求其信息量。
解：
E的信息量：
习题1.2某信息源由A，B，C，D四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。
试求该信息源中每个符号的信息量。
解：
习题1.3某信息源由A，B，C，D四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。
若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
（1）这四个符号等概率出现；
（2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。
解：
（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms。
传送字母的符号速率为
等概时的平均信息速率为
（2）平均信息量为
则平均信息速率为
习题1.4试问上题中的码元速率是多少？
解：
习题1.5设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。
解：
该信息源的熵为
=5.79比特/符号
因此，该信息源的平均信息速率。
习题1.6设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125us。
试求码元速率和信息速率。
解：
等概时，
习题1.7设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆，输入电路的带宽为6MHZ，环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。
解：
习题1.8设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80m，试求其最远的通信距离。
解：
由，得
习题1.9设英文字母E出现的概率为0.105，x出现的概率为0.002。
试求E
和x的信息量。
解：
习题1.10信息源的符号集由A，B，C，D和E组成，设每一符号独立1/4出现，其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。
试求该信息源符号的平均信息量。
解：
习题1.11设有四个消息A、B、C、D分别以概率1/4,1/8,1/8,1/2传送，每一消息的出现是相互独立的。
试计算其平均信息量。
解：
习题1.12一个由字母A，B，C，D组成的字。
对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A，01代替B，10代替C，11代替D。
每个脉冲宽度为5ms。
（1）不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。
（2）若每个字母出现的概率为,,, 试计算传输的平均信息速率。
解：
首先计算平均信息量。
（1）
平均信息速率=2（bit/字母）/（2*5ms/字母）=200bit/s
（2）
平均信息速率=1.985（bit/字母）/（2*5ms/字母）=198.5bit/s
习题1.13国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续1单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。
（1）计算点和划的信息量；
（2）计算点和划的平均信息量。
解：
令点出现的概率为,划出现的频率为
+=1,
（1）
（2）
习题1.14设一信息源的输出由128个不同符号组成。
其中16个出现的概率为1/32，其余112个出现的概率为1/224。
信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。
试计算该信息源的平均信息速率。
解：
平均信息速率为。
习题1.15对于二电平数字信号，每秒钟传输300个码元，问此传码率等于多少？
若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率等于多少？
解：
习题1.16若题1.12中信息源以1000B速率传送信息，则传送1小时的信息量为多少？
传送1小时可能达到的最大信息量为多少？
解：
传送1小时的信息量
传送1小时可能达到的最大信息量
先求出最大的熵：
号
则传送1小时可能达到的最大信息量
习题1.17如果二进独立等概信号，码元宽度为0.5ms，求和；有四进信号，码元宽度为0.5ms，求传码率和独立等概时的传信率。
解：
二进独立等概信号：
四进独立等概信号：
。
小结：
记住各个量的单位：
信息量：
bit
信源符号的平均信息量（熵）：
bit/符号
平均信息速率：
符号）/（s/符号）
传码率：
（B）
传信率：
bit/s
第二章习题
习题2.1设随机过程X（t）可以表示成：
式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：
P（=0）=0.5，P（=/2）=0.5
试求E[X（t）]和。
解：
E[X（t）]=P（=0）2+P（=/2）
习题2.2设一个随机过程X（t）可以表示成：
判断它是功率信号还是能量信号？
并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：
为功率信号。
习题2.3设有一信号可表示为：
试问它是功率信号还是能量信号？
并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：
它是能量信号。
X（t）的傅立叶变换为：
则能量谱密度G（f）==
习题2.4X（t）=，它是一个随机过程，其中和是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为。
试求：
（1）E[X（t）]，E[]；
（2）X（t）的概率分布密度；（3）
解：
（1）
因为相互独立，所以。
又因为，，所以。
故
（2）因为服从高斯分布，的线性组合，所以也服从高斯分布，其概率分布函数。
（3）
习题2.5试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：
（1）；
（2）；（3）
解：
根据功率谱密度P（f）的性质：
①P（f），非负性；②P（-f）=P（f），偶函数。
可以判断
（1）和（3）满足功率谱密度的条件，
（2）不满足。
习题2.6试求X（t）=A的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。
解：
R（t，t+）=E[X（t）X（t+）]=
功率P=R（0）=
习题2.7设和是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为。
试求其乘积X（t）=的自相关函数。
解：
（t,t+）=E[X（t）X（t+）]=E[]
==
习题2.8设随机过程X（t）=m（t），其中m（t）是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
（1）试画出自相关函数的曲线；
（2）试求出X（t）的功率谱密度和功率P。
解：
（1）
-1
0
1
其波形如图2-1所示。
图2-1信号波形图
（2）因为广义平稳，所以其功率谱密度。
由图2-8可见，的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
习题2.9设信号x（t）的傅立叶变换为X（f）=。
试求此信号的自相关函数。
解：
x（t）的能量谱密度为G（f）==
其自相关函数
习题2.10已知噪声的自相关函数，k为常数。
（1）试求其功率谱密度函数和功率P；
（2）画出和的曲线。
解：
（1）
0
（2）和的曲线如图2-2所示。
1
0
图2-2
习题2.11已知一平稳随机过程X（t）的自相关函数是以2为周期的周期性函数：
试求X（t）的功率谱密度并画出其曲线。
解：
详见例2-12
习题2.12已知一信号x（t）的双边功率谱密度为
试求其平均功率。
解：
习题2.13设输入信号，将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤波器（见图2-3）上，RC＝。
试求其输出信号y（t）的能量谱密度。
解：
高通滤波器的系统函数为
H（f）=
C
R
图2-3RC高通滤波器
输入信号的傅里叶变换为
X（f）=
输出信号y（t）的能量谱密度为
习题2.14设有一周期信号x（t）加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y（t）=式中，为常数。
试求该线性系统的传输函数H（f）.
解：
输出信号的傅里叶变换为Y（f）=,所以H（f）=Y（f）/X（f）=j
习题2.15设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。
当输入一个均值为0、双边功率谱密度为的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。
解：
参考例2-10
习题2.16设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。
若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为的高斯白噪声时，试求
L
C
图2-4LC低通滤波器
（1）输出噪声的自相关函数。
（2）输出噪声的方差。
解：
（1）LC低通滤波器的系统函数为
H（f）=
输出过程的功率谱密度为
对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为
（2）输出亦是高斯过程，因此
习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。
解：
高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。
由2.15题可知E（y（t））=0,
所以输出噪声的概率密度函数
习题2.18设随机过程可表示成，式中是一个离散随变量，且，试求及。
解：
习题2.19设是一随机过程，若和是彼此独立且具有均值为0、方差为的正态随机变量，试求：
（1）、；
（2）的一维分布密度函数；
（3）和。
解：
（1）
因为和是彼此独立的正态随机变量，和是彼此互不相关，所以
又;
同理
代入可得
（2）
由=0；又因为是高斯分布
可得
（3）
令
习题2.20求乘积的自相关函数。
已知与是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为、。
解：
因与是统计独立，故
习题2.21若随机过程，其中是宽平稳随机过程，且自相关函数为是服从均匀分布的随机变量，它与彼此统计独立。
（1）证明是宽平稳的；
（2）绘出自相关函数的波形；
（3）求功率谱密度及功率S。
解：
（1）是宽平稳的为常数；
只与有关：
令
所以只与有关，证毕。
（2）波形略；
而的波形为
可以对求两次导数，再利用付氏变换的性质求出的付氏变换。
功率S：
习题2.22已知噪声的自相关函数，a为常数：
求和S；
解：
因为
所以
习题2.23是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为2S的周期函数。
在区间（-1，1）上，该自相关函数。
试求的功率谱密度。
解：
见第2.4题
因为所以
据付氏变换的性质可得
而
故
习题2.24将一个均值为0，功率谱密度为为的高斯白噪声加到一个中心角频率为、带宽为B的理想带通滤波器上，如图
（1）求滤波器输出噪声的自相关函数；
（2）写出输出噪声的一维概率密度函数。
解：
（1）
因为,故
又
由付氏变换的性质
可得
（2）；；
所以
又因为输出噪声分布为高斯分布
可得输出噪声分布函数为
习题2.25设有RC低通滤波
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