比例应用题教案.docx
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比例应用题
适用学科
小数竞赛
适用年级
小学六年级
适用区域
成都
课时时长（分钟）
60
知识点
比例应用题
学习目标
1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；
4、单位“1”变化的比例问题
5、方程解比例应用题
教学重点
运用正反比例解决实际问题
教学难点
运用正反比例解决实际问题
教学过程
一、课堂导入
比与比例应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一．一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律．因此，在这类问题中，数量之间以及“量”、“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确解答带来一定困难．
二、复习预习
复习：
前面我们学过了分数与百分数的应用，其中分数与百分数之间主要抓住数量之间以及“量”、“率”之间的相依关系.这节课我们来学习在应用题中常考的另一种类型----比例的应用.
预习：
什么是比例？
它主要讲的是什么之间的关系？
怎么样来解这种题？
三、知识讲解
考点/易错点1
比和比例的性质
性质1：
若a:
b=c：
d，则（a+c）：
（b+d）=a：
b=c：
d；
性质2：
若a:
b=c：
d，则（a-c）：
（b-d）=a：
b=c：
d；
性质3：
若a:
b=c：
d，则（a+xc）：
（b+xd）=a：
b=c：
d；（x为常数）
性质4：
若a:
b=c：
d，则a×d=b×c；（即外项积等于内项积）
正比例：
如果a÷b=k（k为常数），则称a、b成正比；
反比例：
如果a×b=k（k为常数），则称a、b成反比．
主要比例转化实例
① ；；；
② ；（其中）；
③ ； ；；
④，；；
⑤的等于的，则是的，是的．
考点/易错点2
按比例分配与和差关系
⑴按比例分配
例如：
将个物体按照的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与的比分别为和，所以甲分配到个，乙分配到个.
⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题
例如：
两个类别、，元素的数量比为（这里），数量差为，那么的元素数量为，的元素数量为，所以解题的关键是求出与或的比值．
考点/易错点3
比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。
题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。
在解答分数应用题时，要注意以下几点：
1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
2.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
3.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。
找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。
4.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。
5.赋值解比例问题
四、例题精析
【例题1】
【题干】已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数和的，求.
【答案】3:
4:
5
【解析】由甲等于乙、丙两数和的，得到甲等于三个数和的，同样的乙等于甲、丙两数和的，同样的丙等于甲、乙两个数和的，所以．
【例题2】
【题干】已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为多少？
【答案】16:
12:
9
【解析】甲的一半、乙的倍、丙的这三个数的比为，所以甲、乙、丙这三个数的比为即，化简为，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为即，化简为.
【例题3】
【题干】如下图所示，圆与圆的面积之和等于圆面积的，且圆中的阴影部分面积占圆面积的，圆的阴影部分面积占圆面积的，圆的阴影部分面积占圆面积的．求圆、圆、圆的面积之比．
【答案】20:
15:
1
【解析】设与的共同部分的面积为，与的共同部分的面积为，则根据题意有，，，于是得到，这条式子可化简为，所以.最后得到.
【例题4】
【题干】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是，则甲捐元，乙捐元，丙捐元．
【答案】甲：
38元，乙：
22元，丙：
20元
【解析】由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的和为：
（元），乙、丙所捐资的和为元．所以，甲捐了（元），乙捐了（元），丙捐了（元）．
【例题5】
【题干】一班和二班的人数之比是，如果将一班的名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为．求原来两班的人数．
【答案】42人
【解析】原来一班的人数为两班总人数的，调班后一班的人数是两班人数的，调班前后一班人数的比值为，所以一班原来的人数为人，二班原来的人数为人.
【例题6】
【题干】甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：
A，B两地相距多少千米？
【答案】450千米
【解析】甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：
[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的和，设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：
6，其中相遇后甲行驶了全长的，所以乙行驶了全长的，所以乙一共行了全长，还剩没有走，所以A、B全长为450千米.
【例题7】
【题干】有一个长方体，长和宽的比是，宽与高的比是．表面积为，求这个长方体的体积.
【答案】
【解析】由条件长方体的长、宽、高的比，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为，前面的面积为，左面的面积为，而，所以即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为．
【例题8】
【题干】（2008年第13届华杯赛初赛）将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为．实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中有一位小朋友比原计划多得了块糖果．那么这位小朋友是（填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为块．
【答案】丙；150块
【解析】方法一：
原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的，，；实际甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的，，，只有丙占总数的比例是增加的，所以这位小朋友是丙.糖果总数为（块），丙实际所得的糖果数为（块）．
方法二：
化通比为：
甲乙丙总数为
原计分配为5：
4:
312份
实际分配为7：
6：
518份
化通比为15：
12：
936份
14：
12：
1036份
对比分析甲15——14，乙12——12，丙9——10，发现多得糖果的是丙
所以15÷（10—9）×10＝150（块）
【例题9】
【题干】某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是．结果录取91人，其中男生与女生人数之比是．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是．问报考的共有多少人？
【答案】119人
【解析】（法1）录取的学生中男生有人，女生有（人），先将未录取的人数之比变成，又有（人），所以每份人数是（人），那么未录取的男生有（人），未录取的女生有（人）．所以报考总人数是（人）．
（法2）设未被录取的男生人数为人，那么未被录取的女生人数为人，由于录取的学生中男生有人，女生有（人），则，解得．所以未被录取的男生有12人，女生有16人．报考总人数是（人）．
课堂小结
一、比和比例的性质
性质1：
若a:
b=c：
d，则（a+c）：
（b+d）=a：
b=c：
d；
性质2：
若a:
b=c：
d，则（a-c）：
（b-d）=a：
b=c：
d；
性质3：
若a:
b=c：
d，则（a+xc）：
（b+xd）=a：
b=c：
d；（x为常数）
性质4：
若a:
b=c：
d，则a×d=b×c；（即外项积等于内项积）
正比例：
如果a÷b=k（k为常数），则称a、b成正比；
反比例：
如果a×b=k（k为常数），则称a、b成反比．
二、主要比例转化实例
① ；；；
② ；（其中）；
③ ； ；；
④，；；
⑤的等于的，则是的，是的．
三、按比例分配与和差关系
⑴按比例分配
例如：
将个物体按照的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与的比分别为和，所以甲分配到个，乙分配到个.
⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题
例如：
两个类别、，元素的数量比为（这里），数量差为，那么的元素数量为，的元素数量为，所以解题的关键是求出与或的比值．
四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。
题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。
在解答分数应用题时，要注意以下几点：
6.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
7.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
8.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。
找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。
9.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。
10.赋值解比例问题
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