23离散型随机变量的均值与方差教案二新人教A版选修23Word文档格式.docx
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一、复习引入:
.随机变量:
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量
随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2.
离散型随机变量:
对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量
3.连续型随机变量:
对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:
离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;
但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
若是随机变量,是常数,则也是随机变量
并且不改变其属性(离散型、连续型)
5.分布列:
设离散型随机变量ξ可能取得值为x1,x2,…,x3,…,
ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为,则称表
ξ
x1
x2
…
xi
P
P1
P2
Pi
为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列
6.分布列的两个性质:
⑴Pi≥0,i=1,2,…;
⑵P1+P2+…=1.
7.离散型随机变量的二项分布:
在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
,(k=0,1,2,…,n,).
于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
0
k
n
称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B,其中n,p为参数,并记=b.
8.离散型随机变量的几何分布:
在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量.“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为,P=p,P=q,那么
(k=0,1,2,…,
).于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
2
3
称这样的随机变量ξ服从几何分布
记作g=
,其中k=0,1,2,…,
.
二、讲解新课:
根据已知随机变量的分布列,我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率,但分布列的用途远不止于此,例如:
已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
4
5
6
7
8
9
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
在n次射击之前,可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望
根据射手射击所得环数ξ的分布列,
我们可以估计,在n次射击中,预计大约有
次得4环;
次得5环;
…………
次得10环.
故在n次射击的总环数大约为
,
从而,预计n次射击的平均环数约为
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的,只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数,它反映了射手射击的平均水平.
对于任一射手,若已知其射击所得环数ξ的分布列,即已知各个(i=0,1,2,…,10),我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:
….
.均值或数学期望:
一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
xn
p1
p2
pn
则称
……
为ξ的均值或数学期望,简称期望.
2.均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
3.平均数、均值:
一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令
…,则有
…,
…,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
4.均值或期望的一个性质:
若,ξ是随机变量,则η也是随机变量,它们的分布列为
η
于是
=
……)
=,
由此,我们得到了期望的一个性质:
5.若ξB(n,p),则Eξ=np
证明如下:
∵ ,
∴ 0×
+1×
+2×
+…+k×
+…+n×
.
又∵
∴
++…++…+
故 若ξ~B,则np.
三、讲解范例:
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分,已知他命中的概率为0.7,求他罚球一次得分的期望
解:
因为,
所以
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得5分,不作出选择或选错不得分,满分100分
学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是,则~B(20,0.9),,
由于答对每题得5分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5
所以,他们在测验中的成绩的期望分别是:
例3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:
方案1:
运走设备,搬运费为3800元.
方案2:
建保护围墙,建设费为XX元.但围墙只能防小洪水.
方案3:
不采取措施,希望不发生洪水.
试比较哪一种方案好.
用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失.
采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3800元,即
X1=3800.
采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2
000+60000=6XX元;
没有大洪水时,损失XX元,即
同样,采用第3种方案,有
于是,
EX1=3800,
EX2=6XX×
P+XX00×
P
=6XX×
0.01+XX×
=2600,
EX3=60000×
P+10000×
P+0×
=60000×
0.01+10000×
0.25=3100.
采取方案2的平均损失最小,所以可以选择方案2.
值得注意的是,上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地,我们可以这样来理解“平均损失”:
假设问题中的气象情况多次发生,那么采用方案2
将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.
例4.随机抛掷一枚骰子,求所得骰子点数的期望
∵,
=3.5
例5.有一批数量很大的产品,其次品率是15%,对这批产品进行抽查,每次抽取1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品为止,但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望(结果保留三个有效数字)
抽查次数取110的整数,从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的,取出次品的概率是0.15,取出正品的概率是0.85,前次取出正品而第次(=1,2,…,10)取出次品的概率:
(=1,2,…,10)
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率:
由此可得的概率分布如下:
0.15
0.1275
0.1084
0.092
0.0783
0.0666
0.0566
0.0481
0.0409
0.2316
根据以上的概率分布,可得的期望
例6.随机的抛掷一个骰子,求所得骰子的点数ξ的数学期望.
抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
×
+3×
+4×
+5×
+6×
=×
=3.5.
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望,就是ξ的所有可能取值的平均值.
例7.某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km时租车费为10元,若行驶路程超出4km,则按每超出lkm加收2元计费.从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程,这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η
求租车费η关于行车路程ξ的关系式;
若随机变量ξ的分布列为
0.1
0.5
0.3
求所收租车费η的数学期望.
已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
依题意得 η=2十10,即 η=2ξ+2;
∵
η=2ξ+2
2Eξ+2=34.8
(元)
故所收租车费η的数学期望为34.8元.
由38=2ξ+2,得ξ=18,5=15
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟
四、课堂练习:
.口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以表示取出球的最大号码,则(
)
A.4;
B.5;
c.4.5;
D.4.75
答案:
c
2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望;
⑵他罚球2次的得分η的数学期望;
⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望.
⑴因为,,所以
+0×
⑵η的概率分布为
0×
=1.4.
⑶ξ的概率分布为
0
1
所以
=2.1.
3.设有m升水,其中含有大肠杆菌n个.今取水1升进行化验,设其中含有大肠杆菌的个数为ξ,求ξ的数学期望.
分析:
任取1升水,此升水中含一个大肠杆菌的概率是,事件“ξ=k