高三数学总复习 三角形边和角关系的探索教案 理Word格式.docx

高三数学总复习 三角形边和角关系的探索教案 理Word格式.docx

《高三数学总复习 三角形边和角关系的探索教案 理Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学总复习 三角形边和角关系的探索教案 理Word格式.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

飞机离两探照灯的距离分别是多少？

2.如图43-2，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°

，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平的夹角为6°

20′，AC长为1.40m，计算BC的长．（精确到0.01m）

问题：

（1）图中涉及怎样的三角形？

（2）在三角形中已知什么？

求什么？

二、建立模型

1.教师引导学生分析讨论

在问题情景

（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°

，∠B＝76.5°

，AB＝2558m．求AC，BC的长．

组织学生讨论如何利用已知条件求出AC，BC的长度．（让学生思考，允许有不同的解法）

结论：

如图40-3，作AD⊥BC，垂足为D．由三角函数的定义，知AD＝AC·

sinC，AD＝AB·

sinB．

由此可得AC·

sinC＝AB·

又由∠A，∠B的度数可求∠C的度数，代入上式即可求出AC的长度，同理可求BC的长度．

教师明晰：

（1）当△ABC为直角三角形时，由正弦函数的定义，得

（2）当△ABC为锐角三角形时，设AB边上的高为CD，根据三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理.

（3）当△ABC为钝角三角形时，结论是否仍然成立？

引导学生自己推出．（详细给出解答过程）

事实上，当∠A为钝角时，由

（2）易知.

设BC边上的高为CD，则由三角函数的定义，得

CD＝asinB＝bsin（180°

－A）．

根据诱导公式，知sin（180°

－A）＝sinA，

∴asinB＝bsinA，即.

正弦定理　在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.

正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系．

思考：

正弦定理可以解决有关三角形的哪些问题？

2.组织学生讨论问题情景

（2）

这一实际问题可化归为：

已知△ABC的边AB＝1.95，AC＝1.4，夹角为6°

20′，求BC的长．

组织学生讨论：

能用什么方法求出BC？

（学生有可能有多种不同的解法）

如果已知三角形的两边和夹角，这个三角形为确定的三角形，那么怎样去计算它的第三边呢？

由于涉及边长及夹角的问题，故可以考虑用平面向量的数量积．（也可用两点间的距离公式）

如图，设＝a，＝b，＝c，则c＝a－b．

∵｜c｜2＝c·

c＝（a－b）·

（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，

∴c2＝ａ2＋b2－2abcosC．

同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB．

于是得到以下定理：

余弦定理　三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝c2＋a2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC．

余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？

3.进一步的问题

勾股定理指出了直角三角形中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了一般三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在怎样的关系？

如何利用余弦定理来判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？

三、解释应用

［例　题］

1.

（1）已知：

在△ABC中，A＝32.0°

，B＝81.8°

，ａ＝42.9cm，解三角形．

（2）已知：

在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°

，解三角形．（角精确到1°

，边长精确到1cm）

分析：

（1）本题为给出三角形的两角和一边解三角形问题，可由三角形内角和定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边．

（2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，于是可用正弦定理求出b边的对角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有两个值（如图43-8），从而C角与c边的取值也有两种可能．学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解．

2.

（1）已知：

在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°

在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精确到1′）．

本例中的

（1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理．

（2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角．

3.AB是底部B不可到达的建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法．

由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高．由解直角三角形的知识，只要能知道一点C到建筑物顶部A的距离CA，并能测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高．为了求出CA的长，可选择一条水平基线HG（如图43-9），使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，设CD＝ａ，测角仪器的高为ｈ，则在△ACD中，由正弦定理，得，sin（α－β），从而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝＋h．

［练　习］

1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到1°

（1）A＝45°

，C＝30°

，ｃ＝10cm．

（2）A＝60°

，B＝45°

，ｃ＝20cm．

（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°

．

（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°

2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到0.1°

，边长精确到0.1cm）

（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°

（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°

（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．

四、拓展延伸

1.在△ABC中，有正弦定理

这涉及比值的连等式．请探索并研究是一个什么样的量，并加以证明．

2.在△ABC中，已知三边的长为ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形状？

3.已知：

在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°

，求B．（精确到1°

）

.

∵0°

＜B＜180°

，∴B≈31°

或B≈149°

，

但当B≈149°

时，A＋B＝187°

，这与A，B为三角形内角矛盾，故B角只能取31°

由此题与例1中的

（2）题的分析可以发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或两解的情形，那么会不会出现无解的情形呢？

（1）当A为钝角或直角，必须满足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ无解），并且由sinB＝计算B时，只能取锐角，因此，只有一解，如图43-10．

（2）当A为锐角时，

①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，则由sinB＝计算B时，只能取锐角的值，因此，只有一解，如图40-11．

②若ａ＜ｂsinA，则由sinB＝，得sinB＞1，因此，无解．如图43-12．

③若ａ＝bsinA，则由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ为直角，故只有一解，如图43-13．

④若ｂ＞ａ＞bsinA，则sinB＜1，故B可取一个锐角和一个钝角的值，如图43-14．

若已知三角形的两角和一边、三边、两边及其夹角来解三角形时，它们的解会是怎样的？

点　评

这篇案例设计，思路清晰，突出现实．首先通过恰当的问题情景阐述三角形边角关系产生的背景，使学生体会到了数学在解决实际问题中的作用．然后通过探究、推导活动，使学生体会到了数学知识的发现和发展的历程．例题与练习的配备由浅入深，注重了教学与自然界的关系．拓展延伸有深度，为提高学生的思维能力和创造力提供了良好平台．

总之，从现实出发建立正、余弦定理的模型，又在现实应用中升华有关正、余弦定理的理解，是这篇案例的突出特点．

2019-2020年高三数学总复习不等式的性质教案理

这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．

教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用．

1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．

2.理解并掌握比较两个实数大小的方法．

3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．

这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质．为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，通常要通过论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．

一、问题情境

教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考．

1.公路上限速40km／h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km／h，用不等式表达即为v≤40km／h．

2.某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少xx本．若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于20万元？

x·

［80000－xx（x－25）］≥xx00．

3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．

设600mm钢管