实变函数习题与解答docxWord文档下载推荐.docx
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neN,则limAn=（D
"
T8
A、（0,1）
B、（0,-）
n
C、{0}
D、
11、设=
=（0,-）,A2n=（0,n）,nwN,则limA”=（A）
A、①
B、（0,-）C、（0,n）D、（0,oo）
12、集合E的全体内点所成的集合称为E的（A）
A、开核
B、边界C、导集D、闭包
13、集合E的全体聚点所成的集合称为E的（C）
14、集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的（D）
B、边界C、导集D、闭包
15、E-E7所成的集合是（D）
B、边界C、外点D、｛E的全体孤立点｝
16、E的全体边界点所成的集合称为E的（B）
17、设点P是集合E的边界点，则（D）
A、P是E的聚点B、P是E的孤立点C、P是E的内点D、P是CE的边界点
18、设E是［0,1］上有理点全体，则下列各式不成立的是（D）
（A）E'
=[0,1]（B）E=0（C）E=[0,1]（D）mE=1
oo
19、若｛A”｝是一开集列，
则UA”是：
（A）
A、开集B、闭集
C、既非开集又非闭集
无法判断
20、若｛A”｝是一开集列，
则C九是：
（D）
n=\
21、若｛A”｝是一闭集列，
则U九是：
22、若｛A”｝是一闭集列，
（B）
C、既非开集乂非闭集
23、下列集合不是可数集的是（C）
A.左中的有理数集Q
B.自然数集N
C.[0,1]中的无理数集
D.庄中互不相交的开区间族
24>
P表示康托尔（cantor）集，则mP=（A）
A、0B、1C、2D、3
25、集合列{[0丄=的上限集为（C）
A[0,1]B0C{0}D[0,1）
26、下列集合不是可数集的是（C）
A.疋中的整数集Z
C.[0,1]中的Cantor集
D.
左中互不相交的开区间族
D、3
A、连续函数B、单调函数
C.简单函数D、简单函数列的极限
29、若/（兀）可测,则它必是（
30>
若E=[0J]-Q,则mE=（B）
A.0B、1C、2D、3
31、下列说法不正确的是（A）
A、E的测度有限，则E必有界B、E的测度无限，则E必无界
C、有界点集的测度有限D、/?
的测度无限
（xxwE
32、设f（%）=\=其中E是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0,1]可测的是（A）.
[-X,xe[0J]-E
A、I/（x）|B、f（x）C、广（x）D、f~（x）
33、设E是［0，l］上的不可测集，/（兀）斗?
则下列函数在［OJ］可测的是（C）•
—xxw［0,1］—E
A>
/（x）B、f+（x）C、|f（x）|D、f'
（x）
34、设E为可测集，则下列结论中正确的是（D）
A、若｛/,（%）｝在E上收敛于一个有限的可测函数/（%）,则£
（x）i致收敛于/（%）
B、若｛/〃（Q｝在E上d,幺收敛于一个g,幺有限的可测函数/（%）,则£
（力基本上一致收敛于/（%）
C、若｛//%）｝在E上收敛于一个a,e有限的可测函数/（%）,则/Jx）=>
/（%）
D、若｛£
（兀）｝在E上基本上一致收敛于/（x）,则fn（X）a9e收敛于f（x）
\—兀3XE
35、设/（%）=\，其中E是［0,1］上的不可测集，贝IJ（D）在［0，1］可测.
［x,xe［0J］-E
A、/（兀）、B、f+（x）C、广（兀）D、|/（X）|
36、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（C）
A、它们是同一概念B、有限的可测函数是连续函数
C、a,e有限的可测函数是基本上连续的函数D、有限的可测函数是a,£
连续的函数
f—V*兀we
37、设/（x）=2'
其屮E是［0,1］上的不可测集，则（A）在［0,1］上是可测的.
x,xe［0,1］-E
A、|/（x）|B、/（兀）C、f｛x）D、广（兀）
38、关于简单幣数与可测幣数下述结论不正确的是（C）
A、简单函数一定是可测函数B、简单函数列的极限是可测函数
C、简单函数与可测函数是同一概念D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念
A、/（x）B、|/（x）|C、广（兀）D、f~（x）
40、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（C）
A、依测度收敛不一定一致收敛
B、依测度收敛不一定收敛
C、若｛£
（%）｝在E上必.收敛于a.e有限的可测函数/（X）,则fn（x）=>
f（x）
D、若fn（x）=>
f（x），则存在子列｛九（x）｝a.e收敛于f（x）41、设/（兀）是可测集E上的非负可测函数，则/（x）（C）
A、必可积B、必几乎处处有限C、必积分确定D、不一定积分确定
42、设/（兀）在可测集E上可积，则在E上（B）
A、f+（Q与/一（X）只有一个可积B、f+（X）与f'
（x）皆可积
C、f+（x）与/・（x）不一定可积D、/+（x）与/-（兀）至少有一个不可积
43、设mE=Q（Eh①），/（兀）是E上的实函数，则下面叙述正确的是（C）
A、/（x）在E上不一定可测B、/（兀）在£
上可测但不一定可积
C、/（兀）在E上可积且积分值为0D、/（兀）在E上不可积
44、/（兀）在可测集E上（厶）可积的必要条件是，/（x）为（D）
A、连续函数B、几乎处处连续函数C、单调函数D、几乎处处有限的可测函数
45、设》（无）为狄立克雷函数，贝ij（£
）^D｛x）dx=（A）
A、0B、1C、1/2D、不存在
46、设/（X）为Cantor集的特征函数，则（L）£
f（x）dx=（A）
A、0B、1/3C、2/3D、1
47、设f（x）是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是（D）
（A）/（X）在［a,b］上有界（B）f（x）在［a.b］上几乎处处存在导数
fb
（C）/'
⑴在上L可积（D）Jf（x）dx=f（b）-f\a）
Ja
48、设｛&
｝是一列可测集，E.=）£
2=>
•••=）£
„=）•••,且加耳VW,则有（A）
（00\
（8\
（A）m
严;
=limmEn
”T8
（B）m
<
limmEn
（C）nin£
J<
limmEn;
（D）以上都不对
49、设f（x）是［dj］上绝对连续函数，则下面不成立的是（B）
（A）/（兀）在［a,b］上的一致连续函数（B）/（兀）在［⑦甸上处处可导
（C）/⑴在⑺上］上L可积（D）/（力是有界变差函数
二填空题
1、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合；
若7二n,则方二—2"
—
2、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合；
若A是一可数集，则B=_c
3、若A=c,B=c,则AuB=c
4、若A=c,B是一可数集，则AUB=_c
5^若A=c,B=n,则A\JB=c
6、若｛A”｝是一集合列，且Afl=c,uAfl-c
/l=l
7、设｛S,｝是一列递增的可测集合，则SJ=mSn
〃T8"
8、[a,b]上的连续函数及单调函数都是—可测函数o
9、叶果洛夫定理反映了_点态收敛与—一致收敛的关系。
10、卅（CM”乞m*人称为测度的—次可数可加性—
z=iz=i
11、可测集EuR”上的连续函数都是_可测函数。
12、可测函数列的极限是可测函数。
13、鲁金定理反映了_可测函数_与_连续函数—的关系。
14>
设｛S,｝是一列递减可测集合，且炭，mEk<
oo,则772（lim5n）=_limmSz,
HT8川T8
15、厶可测集和波雷尔集相差一个零测集。
16、设/（兀）在可测集E上可积，则mE[\f\=oo]=（0）
17、（叙述积分的绝对连续性）设f（x）在E上可积，则对任何可测集AuE，有limff（x）clx=（0）
〃讷toJa
18、设佗为Cantor集，则fsinxdx=（0）
19>
设垃为Cantor集，则£
cosAz£
r=（0）
20、设Q为有理数集，则\fdx=（0）
21、设N为自然数集，RiJInxdx=（0）
Jn
三、判断题
1、任意集合都有子集。
（7）
2、E的孤立点必然属于E.（V）
3、hmAn={x\当77充分大以后都有施九}.・（V）
4、若mE<
，且£
二>
/,lim/„（%）=/（x）d,纟于£
（X）
7?
若Vre2,E（/>
r）都可测，则/在可测集£
上也可测.（V）
函数/（X）在E上可测，当且仅当对于每一个实数°
集合£
（/=a）可测.（X）
若mE=0,则£
一定是可数集（X）
设M是疋中的紧集，则M是疋中的有界闭集.（V）
凡博雷尔集都是厶可测集..（V）
连续函数一定是有界变差函数.（X）
若/（兀）在可测集E上可测，则£
（/=+oo）也可测。
（V）
若mEv+oo,且fn=>
f,limfn（x）二f（x）a,幺于E（X）
设S】,S2都可测，则S.-S2也可测,且m（S}-S2）=mS}-mS2O（X）
若/（x）在可测集E上可测，则/（兀）在E的任意可测子集上也可测（V）。
无限集的外测度一定不为零。
（X）
若/（%）在可测集E上可测，则/（X）在E的任意子集上可测（X）
若可测集4是可测集〃的子集，且mB=mA，则m（B-A）=0（X）
若VreQ,E（f>
上也可测（V）
若E可测，A可测，且m（A-E）=0,则mE=m（E\JA）o（V）
计算题
1、设f（x）
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