第十章 直线回归与相关Word文件下载.docx
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的个体身高值是不确定的，而是以该年龄的身高均数为中心而随机变化。
这
和一般数学研究两个变量的个体函数关系或确定关系不同。
两个变量的数量关系就研究目的来说有依存关系和互依关系。
依存关系
中一个为自变量，常以X表示；
一个为应变量，常以Y表示。
研究X对Y的
作用或Y对X的依赖，用回归分析。
互依关系中两个变量可令为X和Y。
研
究X和Y的彼此关系或彼此影响，用相关分析。
一般说来，相关分析只适用
于双随机变量。
两个变量的数量关系就数学形式来说有直线关系和曲线关系（或非直线
关系）。
直线关系为最简单和最基本关系，用直线回归与直线相关描述。
本
节介绍直线回归。
如果选定变量各X值处随机变量Y服从正态分布且方差相等，各X值
处Y的总体均数μ
Y.x
不等且在一条直线上，则该直线称为总体的μ
Y.X
对X
的回归直线。
双变量正态分布总体若X和Y的总体相关系数（见下节）不等
于零，则存在μ
对X和μ
（Y值处X的总体均数）对Y的两条回归直线，
但实际应用中一般只研究一条回归直线，可定自变量为X，应变量为Y。
设样本的n对变量值为：
（X
1
，Y
2
），（X
），…，（X
n
）。
如
果观察到Y随X的变化有直线趋势，即Y随X增大而有相应的增大或减小趋
势，把n对变量值在直角坐标图上描出相应的n点，散点图（scatter
diagram）呈直线趋势（并非所有散点恰在1条直线上），则可拟合样本Y
对X的直线回归方程（linearregressionequation），作为总体直线回归
方程的估计。
据样本n对变量值拟合直线回归方程的方法用最小二乘法
（leastsquaremethod），即使各散点离回归直线的纵向距离平方和为最小。
样本直线回归方程及其计算公式为
）
YabX=+（·
）101
b
XXYY
XX
XYYn
XXn
=
?
∑
∑∑
（）（）
（）
（）/
222
（·
）102
（）aYbXYnbXn=?
∑∑/（）/（·
）103
Y为值处的总体均数（μ）的估计值。
为常数项，是回归直线XYa
线在Y轴上的截距。
b称为直线回归系数，简称回归系数（regression
coefficient），是直线的斜率。
回归系数b描述Y依赖X的直线变化的数量
关系的方向与大小。
为了进行直观分析，可据直线回归方程绘制回归直线。
在X的实测全距
范围内任取相距较远且易读数的两个X值，代入直线回归方程求得两个Y值，
把这两对变量值在直角坐标图上描两点，通过两点连直线。
直线回归方程及相应的回归直线的主要用途有：
①描述应变量依赖自变
量变化而变化的数量关系。
例如描述儿童身高依赖年龄变化而变化的数量关
系。
②由易测的变量值来估算难测的变量值。
如用病人体重来估算其体表面
积。
③由现在的变量值来预测将来的变量值。
如由父亲身高来预测儿子成人
后的身高。
④由于引入自变量，缩减了应变量的变异，因此能更精密地确定
不同自变量值处应变量值的正常值范围。
例如若不考虑年龄，小儿体重的变
异范围大，即正常值范围宽，引入年龄作为体重的自变量，各年龄处小儿体
重的变异减小，正常值范围变窄。
例10·
1某地10名女中学生的体重与肺活量如表10－1的第
（1）、
（2）、
（3）栏。
①以体重为X（kg）、肺活量为Y（L），绘制散点图，观察有无直
线趋势。
②若有直线趋势，拟合Y对X的直线回归方程。
如图10－1，把表10－1的10对（X，Y）值在直角坐标图上描出相应的
10点。
观察到散点图有直线趋势。
于是拟合Y对X的直线回归方程。
计算表
如表10－1，其相关系数的计算见下节。
b=
×
==
94655405231510
1650140510
8975
985
00911
../
/
.
a=23.15/10-0.0911405/10=-1.3746×
故得女中学生肺活量Y（L）对体重X（kg）的直线回归方程为
Y=-1.3746+0.0911X
据拟合的直线回归方程绘制回归直线：
取则×
X=35Y=-1.3746+0.091135=1.81
X=45Y=-1.3746+0.091145=2.72
11
22
如图10－1，把（35，1.81）和（45，2.72）在直角坐标图上描出2点，
通过这2点连直线即得回归直线。
回归直线应在X的实测全距范围内或估计
的实际可应用范围内绘制，不要任意延长。
表10－1某地10名女中学生的体重X（kg）与肺活量Y（L）的
直线回归方程及相关系数的计算
编号XYX
Y
XY
（1）
（2）（3）（4）（5）（6）
1351.6012252.560056.00
2371.6013692.560059.20
3372.4013695.760088.80
4402.1016004.410084.00
5402.6016006.7600104.00
6422.5017646.2500105.00
7422.6517647.0225111.30
8432.7518497.5625118.25
9442.7519367.5625121.00
10452.2020254.840099.00
合计40523.151650155.2875946.55
图10－110名女中学生体重与肺活量的散点图及拟合的肺活量对体重的回归
直线
二、总体回归系数的假设检验
总体μ
（X值处Y的总体均数）对X的直线回归方程的回归系数用β
表示。
若β=0，则各X值处μ
相等，Y的变化不依赖X，即总体不存在μ
对X的直线回归方程及相应回归直线；
只有β≠0时总体才存在μ
对X
因此推断总体是否存在μ
对X的回归直线，即推断总体回归
系数β是否等于零。
样本回归系数b为总体回归系数β的点估计，样本直线
回归方程为总体直线回归方程的估计。
显然只有β≠0，所拟合的样本直线回
归方程及绘制样本回归直线才有意义。
总体回归系数的假设检验的检验假设（或无效假设）H
为β=0；
备择假
设H
一般用双侧β≠0。
如果H
成立，则b和0的差别完全由抽样误差造成。
样本检验统计量为t，称为样本回归系数b和总体回归系数0比较的t检验。
计算t值的公式为
t
s
vn
bb
==?
||||0
2（·
）104
式中s
为回归系数的标准误，计算公式为：
S
YX=
）105
Y.X
为Y的剩余标准差，是扣除X的影响后Y的变异指标，计算公
式为
YY
YX.
）106
式中（）为的剩余平方和，即直角坐标图上各散点离回归Y-YY
2∑
直线的纵向距离平方和，计算公式为
[]
YYYY
=?
）107
式中，其他可用求值的（·
）式的（）Y-Y=Y-（Y）/nb102
222∑∑∑
分子和分母数据。
2据例10·
1中某地10名女中学生的体重与肺活量资料，问是
否存在该地女中学生的肺活量对体重的回归直线？
即例10·
1中所拟合的样
本直线回归方程是否有意义？
设该地女中学生总体肺活量对体重的回归系数为β，假设为：
H
：
β=0
β≠0
α=0.05
在例·
中已算得，，101b=0.0911X-XY-=8.975X-X（）（）（）Y∑∑
=98.5。
现据表10－1中数据算得
（）../.YY?
=∑
55287523151016953
然后算得
（）../..YY?
16953897598508775
YX
08775
102
03312
00334
据（10·
9）式有
t==
?
2728
1028
ν
查t界值表得P＜0.05。
按a=0.05水准拒绝H
，接受H
，认为存在该地
女中学生的肺活量对体重的回归直线，因此例10·
1中所拟合的样本直线回
归方程有意义。
第二节直线相关
一、相关系数
直线相关适用于服从双变量正态分布的双随机变量。
直线相关研究两个
变量X和Y的互依关系，即X和Y协同变化的数量关系。
直线相关系数简称相关系数（correlationcoefficient），用以描述两
个变量直线相关的方向与紧密程度。
总体相关系数用ρ表示，样本相关系数
用r表示。
由样本n对变量值（X
）求r
的公式为
[][]
r
XXYY
XYXYn
XXnYYn
∑∑∑
∑∑∑∑
（）（_）
（）（）/
（）/（）/
222222
）108
相关系数没有单位，其取值范围为：
-1≤r（或ρ）≤1。
相关系数r的意义可用图10－2说明。
若散点图呈椭圆形分布，X和Y
有同时增大或减小的趋势，则0＜r＜1，称为正相关；
若X和Y有一个增大、
另一个减
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