第十章 直线回归与相关Word文件下载.docx

1、的个体身高值是不确定的，而是以该年龄的身高均数为中心而随机变化。这和一般数学研究两个变量的个体函数关系或确定关系不同。两个变量的数量关系就研究目的来说有依存关系和互依关系。依存关系中一个为自变量，常以X表示；一个为应变量，常以Y表示。研究X对Y的作用或Y 对X 的依赖，用回归分析。互依关系中两个变量可令为X 和 Y。研究X和Y的彼此关系或彼此影响，用相关分析。一般说来，相关分析只适用于双随机变量。两个变量的数量关系就数学形式来说有直线关系和曲线关系（或非直线关系）。直线关系为最简单和最基本关系，用直线回归与直线相关描述。本节介绍直线回归。如果选定变量各 X 值处随机变量 Y 服从正态分布且方差

2、相等，各 X 值处 Y 的总体均数Y.x不等且在一条直线上，则该直线称为总体的Y.X对 X的回归直线。双变量正态分布总体若X和Y的总体相关系数（见下节）不等于零，则存在对X和（Y值处X的总体均数）对 Y的两条回归直线，但实际应用中一般只研究一条回归直线，可定自变量为X，应变量为Y。设样本的n对变量值为：（X1，Y2），（X），（Xn）。如果观察到Y随X的变化有直线趋势，即Y随X增大而有相应的增大或减小趋势，把 n 对变量值在直角坐标图上描出相应的 n 点，散点图（scatterdiagram）呈直线趋势（并非所有散点恰在 1 条直线上），则可拟合样本 Y对X的直线回归方程（linear reg

3、ression equation），作为总体直线回归方程的估计。据样本 n 对变量值拟合直线回归方程的方法用最小二乘法（leastsquare method），即使各散点离回归直线的纵向距离平方和为最小。样本直线回归方程及其计算公式为）Y a bX=+（ ）101bX X Y YX XXYY nXXn=?（）（）（）（） /222（ ）102（ ）a Y bXY n bX n=?/（） /（ ）103Y为 值处 的总体均数（ ）的估计值。 为常数项，是回归直线XYa线在 Y 轴上的截距。b 称为直线回归系数，简称回归系数（regressioncoefficient），是直线的斜率。回归系数b描

4、述Y依赖X的直线变化的数量关系的方向与大小。为了进行直观分析，可据直线回归方程绘制回归直线。在X的实测全距范围内任取相距较远且易读数的两个X值，代入直线回归方程求得两个Y值，把这两对变量值在直角坐标图上描两点，通过两点连直线。直线回归方程及相应的回归直线的主要用途有：描述应变量依赖自变量变化而变化的数量关系。例如描述儿童身高依赖年龄变化而变化的数量关系。由易测的变量值来估算难测的变量值。如用病人体重来估算其体表面积。由现在的变量值来预测将来的变量值。如由父亲身高来预测儿子成人后的身高。由于引入自变量，缩减了应变量的变异，因此能更精密地确定不同自变量值处应变量值的正常值范围。例如若不考虑年龄，小

5、儿体重的变异范围大，即正常值范围宽，引入年龄作为体重的自变量，各年龄处小儿体重的变异减小，正常值范围变窄。例 101 某地10名女中学生的体重与肺活量如表101的第（1）、（2）、（3）栏。以体重为 X（kg）、肺活量为 Y（L），绘制散点图，观察有无直线趋势。若有直线趋势，拟合Y对X的直线回归方程。如图101，把表101的10对（X，Y）值在直角坐标图上描出相应的10点。观察到散点图有直线趋势。于是拟合Y对X的直线回归方程。计算表如表101，其相关系数的计算见下节。b =94655 405 2315 1016501 405 10897598500911. /.a = 23.15/10-0.0

6、911 405/10= -1.3746故得女中学生肺活量Y（L）对体重X（kg）的直线回归方程为Y = -1.3746+0.0911X据拟合的直线回归方程绘制回归直线：取则X = 35 Y = -1.3746+0.0911 35=1.81X = 45 Y = -1.3746+0.0911 45= 2.721122如图101，把（35，1.81）和（45，2.72）在直角坐标图上描出2点，通过这2点连直线即得回归直线。回归直线应在X的实测全距范围内或估计的实际可应用范围内绘制，不要任意延长。表 10 1 某地 10 名女中学生的体重 X （ kg ）与肺活量 Y （ L ）的直线回归方程及相关系

7、数的计算编号XYXYXY（1）（2）（3）（4）（5）（6）1351.6012252.560056.002371.6013692.560059.203372.4013695.760088.804402.1016004.410084.005402.6016006.7600104.006422.5017646.2500105.007422.6517647.0225111.308432.7518497.5625118.259442.7519367.5625121.0010452.2020254.840099.00合计40523.151650155.2875946.55图101 10名女中学生体重与肺

8、活量的散点图及拟合的肺活量对体重的回归直线二、总体回归系数的假设检验总体（X值处Y 的总体均数）对X 的直线回归方程的回归系数用表示。若=0，则各X 值处相等，Y 的变化不依赖 X，即总体不存在对X的直线回归方程及相应回归直线；只有0时总体才存在对X因此推断总体是否存在对X的回归直线，即推断总体回归系数是否等于零。样本回归系数b为总体回归系数的点估计，样本直线回归方程为总体直线回归方程的估计。显然只有0，所拟合的样本直线回归方程及绘制样本回归直线才有意义。总体回归系数的假设检验的检验假设（或无效假设）H为=0；备择假设H一般用双侧0。如果H成立，则 b和0的差别完全由抽样误差造成。样本检验统计

9、量为t，称为样本回归系数b和总体回归系数0比较的t检验。计算t值的公式为tsv nbb= ?| | |02（ ）104式中s为回归系数的标准误，计算公式为：SYX= ）105 Y.X为Y的剩余标准差，是扣除X的影响后Y的变异指标，计算公式为Y YYX. ）106式中 （） 为 的剩余平方和，即直角坐标图上各散点离回归Y-YY2直线的纵向距离平方和，计算公式为Y YY Y=? ）107式中，其他可用求 值的（ ）式的（）Y-Y=Y-（Y）/nb102222分子和分母数据。2 据例101中某地10名女中学生的体重与肺活量资料，问是否存在该地女中学生的肺活量对体重的回归直线？即例101中所拟合的样本

10、直线回归方程是否有意义？设该地女中学生总体肺活量对体重的回归系数为，假设为：H：=00=0.05在例 中已算得，101b=0.0911X-XY-=8.975X- X（）（）（）Y=98.5。现据表101中数据算得（）./.YY?=552875 2315 10 16953然后算得（）./ .YY?16953 8975 985 08775YX0877510 20331200334据（109）式有t = ?272810 2 8查t界值表得P0.05。按 a=0.05水准拒绝H，接受H，认为存在该地女中学生的肺活量对体重的回归直线，因此例101中所拟合的样本直线回归方程有意义。第二节 直线相关一、相关

11、系数直线相关适用于服从双变量正态分布的双随机变量。直线相关研究两个变量X和Y的互依关系，即X和Y协同变化的数量关系。直线相关系数简称相关系数（correlation coefficient），用以描述两个变量直线相关的方向与紧密程度。总体相关系数用表示，样本相关系数用r表示。由样本n对变量值（X）求r的公式为rX XY YXYXY nXXnYYn （）（ _ ）（）（） /（） /（） /222222 ）108相关系数没有单位，其取值范围为：-1r（或）1。相关系数 r 的意义可用图 102 说明。若散点图呈椭圆形分布，X 和 Y有同时增大或减小的趋势，则 0r1，称为正相关；若 X和Y有一个增大、另一个减