嵩县五高二年级数学导学案.doc

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嵩县五高二年级数学导学案

编写人：

孙书团审核人：

张迎会时间：

2013年3月

第二章推理与证明

课题：

2.1.1合情推理

（一）——归纳推理

教学目标：

1、体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.理解归纳推理是从特殊到一般的推理方法，知道它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：

了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：

用归纳进行推理，做出猜想。

问题引入

1、推理-

2、据推理的结构形式上表现出不同的特点可分为与。

3、三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是由此我们猜想：

凸边形的内角和是。

3、，由此我们猜想：

（均为正实数）

归纳推理.（简称：

归纳）-

归纳推理的一般步骤：

⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；

⑵提出带有规律性的结论，即猜想；

⑶检验猜想。

实验，观察

概括，推广

猜测一般性结论

问题探究

例1已知数列的通项公式，，试通过计算的值，推测出的值。

【学生讨论：

】（学生讨论结果预测如下）

（1）

由此猜想，

学生讨论：

1）哥德巴赫猜想：

任何大于2的偶数可以表示为两个素数的之和。

2）三根针上有若干个金属片的问题。

课堂练习：

1、已知，经计算:

，推测当时，有__________________________.

2、已知：

，。

观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。

3、观察

（1）

（2）。

课堂小结：

1.

2.归纳推理的一般步骤：

嵩县五高二年级数学导学案

编写人：

孙书团审核人：

张迎会时间：

2013年3月

课题：

2.1.1合情推理

（二）——类比推理

教学目标：

1、了解合类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

（教学重点）

2、用类比进行推理，做出猜想。

（教学难点）

问题导入

1、从一个传说说起：

春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）发明了锯子.这个推理过程是归纳推理吗？

问题探究

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：

猜想不等式的性质：

（1）a=bÞa+c=b+c;

（1）a＞bÞa+c＞b+c;

（2）a=bÞac=bc;

（2）a＞bÞac＞bc;

（3）a=bÞa2=b2;等等。

（3）a＞bÞa2＞b2;等等。

问：

这样猜想出的结论是否一定正确？

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的性质

球的性质

圆心与弦（不是直径）的中点的连线垂直于弦

球心与截面圆（不是大圆）的圆点的连线垂直于截面圆

与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长

与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大

圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的一般步骤：

⑴⑵⑶即

观察、比较

联想、类推

猜想新结论

课堂练习

1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形

 3个面两两垂直的四面体

∠C＝90°

3个边的长度a，b，c

2条直角边a，b和1条斜边c

 ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°

4个面的面积S1，S2，S3和S

3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S

课堂小结：

1.2.

嵩县五高第二学期高二理科数学导学案

孙书团编写张迎会审核班级______姓名_____

课题§2.1.2演绎推理

学习目标

1、结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；

2、掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.

问题导学

1、归纳推理是由到的推理.

类比推理是由到的推理.

2、合情推理的结论.

3、演绎推理的概念为:

4、“三段论”是演绎推理的一般模式：

大前提——；

小前提——；结论——

问题探究

例1把下列推理恢复成完全的三段论:

1、边长分别为3,4,5的△ABC,△ABC则是直角三角形.

2、函数y=2x+1的图象是一条直线.

例2下面的推理形式正确吗？

推理的结论正确吗？

为什么？

所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）

菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）

菱形是正多边形.（结论）

例3在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足.

求证：

AB的中点M到D，E的距离相等.

例4证明函数在上是增函数.

课堂练习

1.因为指数函数是增函数，是指数函数，则是增函数.这个结论是错误的，这是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

3.有一段演绎推理是这样的：

“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4.归纳推理是由到的推理；

类比推理是由到的推理；演绎推理是由到的推理.

5.合情推理的结论；演绎推理的结论

6.用三段论证明：

通项公式为的数列是等比数列.

7.在中，，CD是AB边上的高，求证.

证明：

在中，，

所以，

于是.

指出上面证明过程中的错误.

8、用三段论证明：

在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，则.

9、用三段论证明：

为奇函数.

课堂小结

1.合情推理；结论不一定正确.

2.演绎推理：

由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.

嵩县五高二年级数学导学案

编写人：

孙书团审核人：

张迎会时间：

2013年3月

课题：

2.2.1综合法分析法

（一）

教学目标：

理解综合法，会用综合法解题

问题导学

1、这个证明方法叫综合法。

（也叫顺推证法或由因导果法）

问题探究

例1、已知a,b,c是不全相等的正数，

求证：

a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc

证：

∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a（b2+c2）≥2abc

同理：

b（c2+a2）≥2abc,c（a2+b2）≥2abc

∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）≥6abc

当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a,b,c是不全相等的正数

∴三式不同时取等号，三式相加得a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc

例2、a,b,cÎR,求证：

1°

2°

3°

证：

1°、法一：

,两式相乘即得。

法二：

左边

≥3+2+2+2=9

2°、∵

两式相乘即得

3°、由上题：

∴，即：

例3、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：

证明：

左－右=2（ab+bc－ac），∵a，b，c成等比数列，∴

又∵a，b，c都是正数，所以≤，∴

∴∴

课堂练习

1、设a,b,cÎR，1°求证：

2°求证：

3°若a+b=1,求证：

2、设a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求证：

8abc≤（1-a）（1-b）（1-c）.

3、设a,b,c为一个不等边三角形的三边，求证：

abc>（b+c-a）（a+b-c）（c+a-b）.

4、已知a,bÎR+，求证：

5、设a>0,b>0，且a+b=1，求证：

课堂小结

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编写人：

孙书团审核人：

张迎会时间：

2013年3月

课题：

2.2.1综合法分析法

（二）

问题导入

1、这个证明方法叫综合法。

（也叫顺推证法或由因导果法）

2、这个执果所因的思考证明方法叫分析法。

问题探究

例1、求证：

证：

分析法：

综合表述：

∵∵21<25

只需证明：

∴

展开得：

∴

即：

∴

∴∴

即：

21<25（显然成立）∴

∴

例2、设x>0，y>0，证明不等式：

证一：

（分析法）所证不等式即：

即：

即：

只需证：

∵成立

∴

证二：

（综合法）∵

∵x>0，y>0，∴

例3、已知：

a+b+c=0，求证：

ab+bc+ca≤0

证一：

（综合法）∵a+b+c=0∴（a+b+c）2=0

展开得：

∴ab+bc+ca≤0

证二：

（分析法）要证ab+bc+ca≤0∵a+b+c=0

故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2

即证：

即：

（显然）

∴