高中数学第二章点直线平面之间的位置关系21空间点直线平面之间的位置关系导学案新人教A版必修2Word格式.docx

高中数学第二章点直线平面之间的位置关系21空间点直线平面之间的位置关系导学案新人教A版必修2Word格式.docx

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【自主学习】

1．平面

（1）平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是的．

（2）平面的画法

①水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的，如图①.

②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来．如图②.

2．点、线、面之间的位置关系

直线、平面都可以看成的集合．点P在直线l上，记作；

点P在直线l外，记作；

点A在平面α内，记作；

点A在平面α外，记作；

直线l在平面β内，记作；

直线l在平面α外，记作.

3．平面的基本性质

公理

内容

图形

符号

公理1

如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在此平面内

，，且，⇒l⊂α

公理2

的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条

，⇒α∩β＝l，且P∈l

特别提醒：

点、线、面间的关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．故点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用⊂，⊄表示.

【考点突破】

要点一平面的概念及点、线、面的位置关系

1.生活中的平面是比较平整、有限的，而立体几何中所说的平面是从生活中常见平面中抽象、概括出来的，是理想的、绝对平整的、无限延展的．立体几何中的平面无大小、厚薄之分，是不可度量的．

2．平面通常用希腊字母α，β，γ等表示（常把这些字母写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面α，平面β，平面γ等．也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．

典型例题1、根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

（1）A∈α，B∉α；

（2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l；

（3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.

【思路启迪】　正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，实现三种语言间的互译．

【解】　

（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；

（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；

（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.

图形分别如图

（1）、

（2）、（3）所示．

方法指导：

三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；

由符号语言画相应图形时，要注意实、虚线

反馈训练1、在下列命题中，正确命题的个数为（　　）

①书桌面是平面

②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚

③有一个平面的长是50m，宽是20m

④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

要点二共面问题

1.证明点线共面的主要依据

（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；

（2）经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．

2．证明点线共面的具体操作

（1）证明几点共面可先取不共线的三点确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；

（2）证明空间几条直线共面可先取两条相交（或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．

典型例题2、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：

D1，E，F，B共面．

【思路启迪】　先利用其中D1，E，F三点确定一平面，然后利用公理3证明四点共面．

【证明】　因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.

由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．

分别延长D1E与DA相交于G，

所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.

同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α.

又点G，B，H均在平面AC内，

且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，

所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，

所以∠ABG＝45°

.同理∠CBH＝45°

.

又∠ABC＝90°

，所以G，B，H共线于GH，

又GH⊂平面α，所以B∈平面α，

所以D1，E，F，B共面．

证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，及其推论，常用方法有：

（1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；

（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．

反馈训练2、求证：

两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．

要点三点共线或线共点问题

1.证明三点共线的依据是公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．

对于这个公理应进一步理解下面三点：

①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；

②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；

③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．

2．证明线共点主要利用公理1、公理3作为推理的依据．

典型例题3、如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.

求证：

B、D、O三点共线．

【思路启迪】　解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可。

【证明】　∵E∈AB，H∈AD，

∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.

∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.

同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，

∴O∈BD，即B、D、O三点共线．

（1）证明三点共线的常用方法：

方法1是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．

方法2是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．

（2）证明三线共点的思路是：

先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

反馈训练3、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：

CE、D1F、DA三线交于一点．

考点巩固

1．如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断正确的是（　　）

A．A、B、C、D四点中必有三点共线

B．A、B、C、D四点中不存在三点共线

C．直线AB与CD相交

D．直线AB与CD平行

2．下列说法中正确的个数为（　　）

①三角形一定是平面图形　②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形　③圆心和圆上两点可确定一个平面　④三条平行线最多可确定三个平面

A．1B．2

C．3D．4

3．如图，平面α∩平面β=l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l=D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（　　）

A．点AB．点B

C．点C，但不过点DD．点C和点D

4．两两相交的三条直线最多可确定________个平面．

5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C与平面BDC1的交线是________．

6．如图，在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：

FC=DH：

HA=2：

3，求证：

EF、GH、BD交于一点．

7．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：

B，Q，D1三点共线．

8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC1的中点，作出过E、F、G的截面．

考点巩固-答案

1、解析：

A、B、C、D四点中若有三点共线，则必与另一点共面；

直线AB与CD既不平行也不相交，否则A、B、C、D共面．

答案：

B

2、解析：

①②④正确；

③不正确，因为圆心和两点共线时不可以确定一个平面．

C

3、解析：

∵AB⊂γ，D∈AB，∴D∈γ.

又D∈l，l⊂β，∴D∈β.

∵C∈β，C∈γ，

∴β与γ的交线为CD.故选D.

D

4、解析：

当三条直线相交于一点且不共面时，确定的平面最多，有3个．

3

5、解析：

因为C1∈平面A1C且C1∈平面BDC1；

同理M∈平面A1C且M∈平面BDC1，所以平面A1C与平面BDC1的交线是C1M.

C1M

6、证明：

因为E、G分别为BC、AB的中点，所以GE∥AC.

又因为DF：

FC＝DH：

HA＝2：

3，

所以FH∥AC，从而FH∥GE，故E、F、H、G四点共面，

所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.

因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF、GH、BD交于一点．

7、解：

连接A1B，CD1.

显然，B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.

∴BD1⊂平面A1BCD1.

同理：

BD1⊂平面ABC1D1.

∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.

∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，

∴Q∈平面ABC1D1.

又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.

∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．

8、解：

如图，连接EF，设直线EF与直线AD、CD分别交于点P、Q连接QG，设直线QG与直线C1D1、DD1分别交于点H、R，连接PR，设直线PR与直线A1D1、AA1分别交于点I、J则六边形EFGHIJ即为正方体过E、F、G的截面．

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系