最新数学高一北师大版必修1第二章求函数的定义域与值域的常用方法教案名师优秀教案Word文件下载.docx
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2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域;
一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;
3、求函数解析式的一般方法有:
（1）直接法:
根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法:
若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值;
（3）换元法:
若给出了复合函数f,g（x）,的表达式，求f（x）的表达式时可以令t,g（x），以换元法解之;
（4）构造方程组法:
若给出f（x）和f（,x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换,x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（,x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式;
（5）根据实际问题求函数解析式:
设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式;
要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等;
4、对复合函数y,f,g（x）,的定义域的求解，应先由y,f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I;
再由g（x）求出y,g（x）的定义域I，I和I的交集即为复合函数的定义域;
1212
5、分段函数的定义域是各个区间的并集;
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域;
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（三）求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示;
2、在函数f:
A?
B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集;
若C,B，那么该函数作为映射我们称为“满射”;
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集;
4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论;
叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;
5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集;
6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结;
（四）求函数的最值
1、设函数y,f（x）定义域为A，则当x?
A时总有f（x）?
f（x）,M，则称当x,x时f（x）取最大oo值M;
当x?
f（x）,N，则称当x,x时f（x）取最小值N;
11
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题;
3、闭区间的连续函数必有最值。
【典型例题】
考点一:
求函数解析式
1、直接法:
由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
22例1.已知函数y,f（x）满足xy,0，4x,9y,36，求该函数解析式。
22解:
由4x,9y,36可解得:
2,29x,,,,3x,229x,,3y,,,,2329x,,,3x,,,3,。
229x,y,,3说明:
这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。
2、待定系数法:
由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。
例2.已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平
3均水深为2m时，水流量为340m/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
k780y,yx,,,03xx，代入x，y的值可求得反比例系数k,780m/s，故所求函数关系式为。
解:
设
3、换元法:
题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
2xxx，，，11f（）,2fx（）xx例3.已知，试求。
x，11t,x,22fttt（）1,,，fxxxx（）1,1,,，,xt,1解:
设，则，代入条件式可得:
，t?
1。
故得:
。
说明:
要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
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4、构造方程组法:
对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
12fxfxx（）2（）345，,，，fx（）x）已知，试求;
例4.（1
2fxfxxx（）2（）345，,,，，fx（）
（2）已知，试求;
1,,1111fffx（）2（）345，,，，,,2x,,xxxx）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，解:
（1
2845x2fxx,，,,，，，2xx333则得:
2fx,，，fxfxxx（）2（）345,，,,，
（2）由条件式，以,x代x则得:
，与条件式联立，消去，则
52fxxx,,，4，，3得:
虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式说明:
本题
确定，不需要另外给出。
5、实际问题中的函数解析式:
这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。
例5.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。
设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。
解:
由题意知:
0，1,时:
y,x;
2y,（x,1），1当x?
（1，2）时:
;
2y,（3,x），1当x?
（2，3）时:
故综上所述，有
x,x,[0,1],
,2y,x,2x，2x,（1,2],
2（3,x），1x,（2,3],,
考点二:
求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域:
由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置;
最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
x，3yx,，，2x,4例6.求的定义域。
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x，,20,,,x,4,,解:
，从而解得:
x>
2且x?
?
4.故所求定义域为:
{x|x>
4}。
2、求分段函数的定义域:
对各个区间求并集。
例7.已知函数由下表给出，求其定义域
X123456
6Y223143517
{1，2，3，4，5，6}。
3、求与复合函数有关的定义域:
由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x?
I，又由g（x）定义域可以解得x?
I.则I?
I即为该复合函数的定义域。
也可先求出复合函数的表达式1212
后再行求解。
x例8已知求的定义域fxxgxyfgx（）3,（）,（（））,,,,.2xx,，43
x由fxxxgx（）33（）33,,,,,,,,,2xx,，43解:
2又由于x,4x，3>
0**
联立*、**两式可解得:
933933,，,,,,xx13或44
,933933,，,,故所求定义域为或xxx|13,,,,,,44,,,,
x例9.若函数f
（2）的定义域是,,1，1,，求f（logx）的定义域。
2,,x1x1解:
由f
（2）的定义域是,,1，1,可知:
2?
2，所以f（x）的定义域为,2，2,，故logx?
2
，，2,4,1，，24,,x,2，2,，解得，故定义域为。
4、求解含参数的函数的定义域:
一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。
fxax（）1,，例10.求函数的定义域。
a,0解:
若，则x?
R;
1x,,若，则;
a,0a
故所求函数的定义域:
11,,,,xx|,,xx|,,R当时为，当时为，当时为。
a,0a,0a,0,,,,aa,,,,
此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。
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考点三:
求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法;
随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。
、分离变量法1
23x，y,x，1例11.求函数的值域。
211x，，，，231x，1y,,,，2,0x，1xxx，，，111解:
，因为，故y?
2，所以值域为{y|y?
2}。
这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。
2、配方法
2例12.求函数y,2x，4x的值域。
222解:
y,2x，4x,2（x，2x，1）,2,2（x，1）,2?
2，故值域为{y|y?
2}。
这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。
类似的，对于可以化为二次函数的
2函数的值域也可采用此方法求解，如y,af（x），bf（x），c。
3、判别式法
2xx，，2313.例求函数的值域。
y,2456xx，，
2xx，，23y,22456xx，，解:
可变形为:
（4y,1）x，（5y,2）x，6y,3,0，由Δ?
0可解得:
，，26632663,，y,,,,7171，，。
对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。
要注意两点:
第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出;
如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域;
第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ?
0。
4、单调性法
214.x45y,，3例求函数，?
，,的值域。
x
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