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分析:

由点B在A右边,知b-a0,而A、B都在原点左边,故ab0,又c10,故要比较

的大小关系,只要比较分母的大小关系。

例4、在有理数a与b(ba)之间找出无数个有理数。

提示:

P=

(n为大于是的自然数)

注:

P的表示方法不是唯一的。

2、符号和括号

在代数运算中,添上(或去掉)括号可以改变运算的次序,从而使复杂的问题变得简单。

例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?

造零:

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0

造零的基本技巧:

两个相反数的代数和为零。

3、算对与算巧

例6、计算123…200020012002

1、逆序相加法。

2、求和公式:

S=(首项+末项)项数2。

例7、计算1+234+5+678+9+…2000+2001+2002

仿例5,造零。

结论:

2003。

例8、计算

凑整法,并运用技巧:

199…9=10n+99…9,99…9=10n1。

例9、计算

字母代数,整体化:

,则

例10、计算

(1)

(2)

裂项相消。

常用裂项关系式:

(2)

(3)

(4)

例11计算

(n为自然数)

例12、计算1+2+22+23+…+22000

1、裂项相消:

2n=2n+12n;

2、错项相减:

令S=1+2+22+23+…+22000,则S=2SS=220011。

例13、比较

与2的大小。

错项相减:

计算

第二讲绝对值

一、知识要点

1、绝对值的代数意义;

2、绝对值的几何意义:

(1)|a|、

(2)|a-b|;

3、绝对值的性质:

(1)|-a|=|a|,|a|0,|a|a;

(2)|a|2=|a2|=a2;

(3)|ab|=|a||b|;

(b0);

4、绝对值方程:

(1)最简单的绝对值方程|x|=a的解:

(2)解题方法:

换元法,分类讨论法。

二、绝对值问题解题关键:

(1)去掉绝对值符号;

(2)运用性质;

(3)分类讨论。

三、例题示范

例1已知a0,化简|2a-|a||。

多重绝对值符号的处理,从内向外逐步化简。

例2已知|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a,则a+b=,满足条件的a有几个?

例3已知a、b、c在数轴上表示的数如图,化简:

|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。

例4已知a、b、c是有理数,且a+b+c=0,abc0,求

的值。

对于轮换对称式,可通过假设使问题简化。

例5已知:

例6已知

,化简:

m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。

例7已知|x+5|+|x-2|=7,求x的取值范围。

1、根轴法;

2、几何法。

例8是否存在数x,使|x+3|-|x-2|7。

 

例9m为有理数,求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。

结合几何图形,就m所处的四种位置讨论。

最小值为8。

例10(北京市1989年高一数学竞赛题)设x是实数,

且f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f(x)的最小值等于___6_______.

例11(1986年扬州初一竞赛题)设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15.对于满足p≤x≤15的x的来说,T的最小值是多少?

解由已知条件可得:

T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x.

∵当p≤x≤15时,上式中在x取最大值时T最小;

当x=15时,T=30-15=15,故T的最小值是15.

例12 

若两数绝对值之和等于绝对值之积,且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.

证 

设两数为a、b,则|a|+|b|=|a||b|.

∴|b|=|a||b|-|a|=|a|(|b|-1).

∵ab≠0,∴|a|>0,|b|>0.∴|b|-1=

>0,∴|b|>1.

同理可证|a|>1.∴a、b都不在-1与1之间.

例13某城镇沿环形路有五所小学,依次为一小、二小、三小、四小、五小,它们分别有电脑15、7、11、3、14台,现在为使各校电脑数相等,各调几台给邻校:

一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。

若甲小给乙小3台,即为乙小给甲小三台,要使电脑移动的总台数最少,应怎样安排?

例14解方程

(1)|3x-1|=8

(2)||x-2|-1|=

(3)|3x-2|=x+4(4)|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.

例15(1973年加拿大中学生竞赛题)求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.

分析 

解绝对值方程的关键是去绝对值符号,令x+3=0,x-1=0,分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段:

x<-3或-3≤x<1或x≥1,然后在每一段上去绝对值符号解方程,例如,当x<-3时,|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1,∴x=-5,x=-5满足x<-3,故是原方程的一个解,求出每一段上的解,将它们合并,便得到原方程的全部解,这种方法叫做“零点”分段法,x=-3,x=1叫做零点.

第三讲一次方程(组)

一、基础知识

1、方程的定义:

含有未知数的等式。

2、一元一次方程:

含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。

3、方程的解(根):

使方程左右两边的值相等的未知数的值。

4、字母系数的一元一次方程:

ax=b。

其解的情况:

5、一次方程组:

由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。

常见的是二元一次方程组,三元一次方程组。

6、方程式组的解:

适合方程组中每一个方程的未知数的值。

7、解方程组的基本思想:

消元(加减消元法、代入消元法)。

二、例题示范

例1、解方程

例2、关于x的方程

中,a,b为定值,无论k为何值时,方程的解总是1,求a、b的值。

用赋值法,对k赋以某一值后求之。

例3、(第36届美国中学数学竞赛题)设a,a'b,b'是实数,且a和a'不为零,如果方程ax+b=0的解小于a/x+b'=0的解,求a,a'b,b'应满足的条件。

例4解关于x的方程

.

整理成字母系数方程的一般形式,再就a进行讨论

例5k为何值时,方程9x-3=kx+14有正整数解?

并求出正整数解。

整理成字母系数方程的一般形式,再就k进行讨论。

例6(1982年天津初中数学竞赛题)已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,当a每取一个值时就有一个方程,而这些方程有一个公共解,你能求出这个公共解,并证明对任何a值它都能使方程成立吗?

依题意,即要证明存在一组与a无关的x,y的值,使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立,令a取两个特殊值(如a=1或a=-2),可得两个方程,解由这两个方程构成的方程组得到一组解,再代入原方程验证,如满足方程则命题获证,

本例的另一典型解法

例7(1989年上海初一试题),方程

并且abc≠0,那么x____

1、去分母求解;

2、将3改写为

例8(第4届美国数学邀请赛试题)若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组:

确定3x4+2x5的值.

说明:

整体代换方法是一种重要的解题策略.

例9解方程组

仿例8,注意就m讨论。

例10如果方程组

(1)的解是方程2x-y=4

(2)的解,求m的值。

1、从

(1)中解出x,y用m表示,再代入

(2)求m;

2、在

(1)中用消元法消去m再与

(2)联立求出x,y,再代入

(1)求m。

例11如果方程ax+by+cz=d对一切x,y,z都成立,求a,b,c,d的值。

赋值法。

例12解方程组

引进新未知数

第四讲列方程(组)解应用题

一、知识要点

1、列方程解应用题的一般步骤:

审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.

2、列方程解应用题要领:

(1)善于将生活语言代数化;

(2)掌握一定的设元技巧(直接设元,间接设元,辅助设元);

(3)善于寻找数量间的等量关系。

1、合理设立未知元

例1一群男女学生若干人,如果女生走了15人,则余下的男女生比例为2:

1,在此之后,男生又走了45人,于是男女生的比例为1:

5,求原来男生有多少人?

(1)直接设元

(2)列方程组:

例2 

在三点和四点之间,时钟上的分针和时针在什么时候重合?

例3甲、乙、丙、丁四个孩子共有45本书,如果甲减2本,乙加2本,丙增加一倍,丁减少一半,则四个孩子的书就一样多,问每个孩子原来各有多少本书?

(1)设四个孩子的书一样多时每人有x本书,列方程;

(2)设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t本书,列方程组:

例4(1986年扬州市初一数学竞赛题)A、B、C三人各有豆若干粒,要求互相赠送,先由A给B、C,所给的豆数等于B、C原来各有的豆数,依同法再由B给A、C现有豆数,后由C给A、B现有豆数,互送后每人恰好各有64粒,问原来三人各有豆多少粒?

用列表法分析数量关系。

例5如果某一年的5月份中,有五个星期五,它们的日期之和为80,求这一年的5月4日是星期几?

间接设元.设第一个星期五的日期为x,

例6甲、乙两人分别从A、B两地相向匀速前进,第一次相遇在距A点700米处,然后继续前进,甲到B地,乙到A地后都立即返回,第二次相遇在距B点400米处,求A、B两地间的距离是多少米?

直接设元。

例7某商场经销一种商品,由于进货时价格比原来降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率。

商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为:

商品利润率=[(商品售价—商品进价)商品进价]100%。

例8 

(1983年青岛市初中数学竞赛题)某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后,以每小时9千米的速度走平路到B地,共用55分钟.回来时,他以每小时8千米的速度通过平路后,以每小时4千米的速度上坡,从B地到A地共用

小时,求A、B两地相距多少千米?

(选间接元)设坡路长x千米

2选直接元辅以间接元)设坡路长为x千米,A、B两地相距y千米

3(选间接元)设下坡需x小时,上坡需y小时,

2、设立辅助未知数

例9(1972年美国中学数学竞赛题)若一商人进货价便谊8%,而售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前的x%增加到(x+10)%,x等于多少?

引入辅助元进货价M,则0.92M是打折扣的价格,x是利润,以百分比

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