抛物线的几何性质圆锥曲线的共同性质文档格式.docx

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________．

5．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．

6．过抛物线y＝ax2

（a>

0）的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则11

m＋n＝________.

7．（2013·

南通高二检测）已知弦AB过拋物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则以AB为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．

8．（2012·

陕西高考）如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．

9．（2013·

哈师大附中高二检测）设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：

3x＋4y－14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．

10．过点（0,4），斜率为－1的直线与拋物线y2＝2px（p＞0）交于两点A，B，如果OA⊥OB（O为原点）求拋物线的标准方程及焦点坐标．

11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．

（1）如果直线l过抛物线的焦点，求OA→·

OB→的值；

（2）如果OA→·

OB→＝－4，证明：

直线l必过一定点，并求出该定点．

（二）圆锥曲线的共同性质

1．中心在原点，一条准线方程为x＝8，离心率为1

2的椭圆方程为________．

2．双曲线2x2－y2＝－16的准线方程为________．

3．如果双曲线xy

42＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．

4．（2012·

大纲全国卷改编）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________．

5．已知椭圆x2y2

100361上有一点P，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P到两准线的距离分别为________．

．若双曲线x2y2

68－b＝1的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为________．

吉林高二检测）已知A（－1,0），B（1,0），点C（x，y）满足：

（x－1）＋y1

|x－4|2，则

AC＋BC＝________.

8．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且BF→＝2FD→

，则椭圆C的离心率为________．

二、解答题

．已知椭圆x2y2

925＋16＝1，P为椭圆上一点，F1、F2为左、右两个焦点，若PF1∶PF2＝2∶

1，求点P的坐标．

10．求中心在原点，长轴在x轴上，一条准线方程是x＝3，离心率为5

3

．已知双曲线x2y2

11ab1（a＞0，b＞0）的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．

（1）求证：

PF⊥l；

（2）若|PF|＝3，且双曲线的离心率e＝5

4，求该双曲线方程．

答案卷

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．【解析】∵p

22，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝8x.【答案】y2＝8x2．经过抛物线y2＝2px（p>

0）的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．【解析】通径长为2p.【答案】2p

烟台高二检测）过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________．

【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10.【答案】10

．（2013·

四川高考改编）抛物线y2

＝4x的焦点到双曲线x2

－y243＝1的渐近线的距离是

【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为（1,0），双曲线的渐近线方程为3x－y＝0或3x＋y＝0，

则焦点到渐近线的距离d|3×

1－0|

3|3×

1＋0|（3）2＋（－1）22d331＝2＝（3）2＋122【答案】25．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2

＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．

【解析】设△AOB边长为a，则A3aa23

2，2，∴4＝6×

2.

∴a＝123.【答案】3

6．过抛物线y＝ax2（a>

【解析】由焦点弦性质知112x2＝11

PF＋FQ＝p，抛物线的标准方程为a（a>

0），∴2p＝a，p＝12a

∴114a，即11

PFFQm＋n＝4a.【答案】4a

【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0），如图，则AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p.

设A，B，M到准线l：

x＝－p

2距离分别为d1，d2，d，则有d1＝x1＋pdp22＝x2＋2

d＝d1＋d2x1＋x2＋pAB22

∴以AB为直径的圆与拋物线的准线相切．

【答案】相切

陕西高考）如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．

【解析】设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（2，－2）．

设抛物线方程为

x

2＝－2py（p>

0），则22＝－2p×

（－2），得p＝1.

设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为（x0，－3），则x20＝6，解得x0＝6，所以水面宽为26米．【答案】26

【解】设与l平行的切线方程为3x＋4y＋m＝0，

由⎧2

⎨x＝－2py⎩3x＋4y＋m＝0

得2x2－3px－pm＝0.|14－9∴Δ＝0即m＝－98.又d＝8p|

152

51，∴p＝8或p＝9舍），

∴抛物线的标准方程为x2＝－16y.

【解】直线方程为y＝－x＋4.

由⎧⎨y＝－x＋4，

⎩y2＝2px，

消去y得x2－2（p＋4）x＋16＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x1＋x2＝2（p＋4），x1x2＝16，Δ＝4（p＋4）2－64＞0.所以y1y2＝（－x1＋4）（－x2＋4）＝－8p.

由已知OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，从而16－8p＝0，解得p＝2.

所以，拋物线的标准方程为y2＝4x，焦点坐标为（1,0）．

OB→

的值；

直线l必过一定点，并求出该定点．【解】

（1）设l：

my＝x－1与y2＝4x联立，得y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，

∴OA→·

OB→＝x1x2＋y1y2＝（m2＋1）y1y2＋m（y1＋y2）＋1＝－3.

（2）证明：

设l：

my＝x＋n与y2＝4x联立，得y2－4my＋4n＝0，

∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4n.

由OA→·

OB→＝－4＝（m2＋1）y1y2－mn（y1＋y2）＋n2＝n2＋4n，解得n＝－2，∴l：

my＝x－2过定点（2,0）．

（二）圆锥曲线的共同性质

2的椭圆方程为________．【解析】由题意，得ec1a2

a＝2c8，∴a＝4，c＝2，2

＝a2

－c2

＝12，∴椭圆方程为x2y2x2y2

b16121.【答案】16＋12＝1

双曲线方程可化为：

y2x2

【解析】1681，∴a2＝16，b2＝8，c2＝24，∴准线方程为y＝436.【答案】y＝4

6

3．如果双曲线x2y2

421上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．

【解析】由题可知a＝2，b2，c6，a2右准线x4c6

c6

e＝a2.

设P到y轴的距离为d，则

＝6，d＝46.【答案】4－

42336d64．（2012·

由题意得，－a2

【解析】c4，即a2＝4c，且椭圆的焦点在x轴上，又2c＝4，则c2

，b2

＝4，则椭圆的方程为x2y2x2y2

＝2，故a＝88＋4＝1.【答案】841

5100361上有一点P，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P

到两准线的距离分别为________．

【解析】设P（x，y），左、右焦点分别为F1，F2，由已知的椭圆方程可得a＝10，b＝6，c4

c＝8，e＝a5PF1＋PF2＝2a＝20.

又3PF1＝PF2，∴PF1＝5，PF2＝15.

PF25PF75

设点P到两准线的距离分别为d1，d2，可得d1＝e＝4，d2＝e4故点P到两准线25752575

的距离分别为44【答案】4，4

3c2c2112

BF＝2FD，得a＝2a－a，整理得a＝3，即e＝3

333

∴e＝－3舍