162 矩形菱形与正方形的性质同步练习Word下载.docx

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3，AB=6cm，D为AB边上的中点，求CD的长．

7．已知菱形的边长为10cm，则菱形对角线的交点到四条边中点的距离之和为_____cm．

8．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC分∠BAD为∠1，∠2，且∠1：

∠2=1：

2，AB=3cm，求AC的长．

9．菱形ABCD的两条对角线分别为5cm，12cm，则菱形ABCD的面积为多少？

10．对于左栏的案例4，采用“补短法”还可以怎样作辅助线，证明出BE=BG+FC？

11．如图，E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上，且∠FBC=∠EBF，

求证：

BE=AE+CF．

二、课外演练

1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）

A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分

C．对角线平分一组对角D．对角线相等

2．一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm，则这个菱形的面积为（）

A．56cm2B．28cm2C．14cm2D．36cm2

3．如图，EF为矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）

A．

B．

C．

D．

（第3题）（第6题）（第8题）

4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°

，则两条对角线相交所成的锐角是（）

A．20°

B．40°

C．80°

D．100°

5．菱形的一条对角线与一条边长相等，则这菱形锐角的度数为_______．

6．如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长大8cm，矩形周长是80cm，求矩形ABCD的面积．

7．如果矩形的两条对角线所成的角中有一个角为60°

，那么（）

A．它的对角线长是长边长度的2倍B．它的对角线长是短边长度的2倍

C．它的长边是短边长度的2倍D．上述关系无法确定

8．如图，矩形ABCD中，AD=30，AB=20，E、F三等分对角线AC，则S△ABE=（）

A．60B．100C．150D．200

9．能够在图形内找到一点，使该点到四边形的各边距离都相等，则该四边形一定是（）

A．平行四边形、菱形;

B．矩形、正方形;

C．矩形、菱形;

D．菱形、正方形

10．如图16-2-21，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE，则∠EAC为（）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

（第10题）（第14题）（第15题）

11．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成5cm或8cm，此矩形周长为_____cm．

12．菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为8cm，则另一条对角线的长是_____cm．

13．菱形的周长是20cm，那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为______cm．

14．如图，若点P是正方形ABCD内任意一点，且正方形的边长为1，若S△ABP=0.4，则S△DCP=______．

15．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都为1，那么正方形绕点O旋转，两个正方形重叠部分的面积（）

A．

D．随着旋转而变化

16．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，AE：

EB=5：

2，则阴影部分的面积是_______cm2．

17．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若S正方形ABCD=13，S正方形EFGH=1，直角三角形较短直角边为a，较长的直角边为b，求（a+b）2的值．

18．有块如图，形状的钢板，如何用一条直线将其分成面积相等的两部分？

（至少用2种方法）

19．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和是多少？

20．阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：

三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．

（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”．

（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°

，在图16-2-28②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小．

（3）若△ABC是锐角三角形，且BC>

AC>

AB．在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．

答案:

1．解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AO=CO=

AC，OB=OD=

BD（矩形对角线相等且互相平分）．

∴AO=CO=OB=OD．

又∵∠AOD=120°

，∴∠AOB=60°

．

∴△AOB是等边三角形．

即AO=BO=AB=4（cm）．

∴AC=2×

4=8（cm）．

点拨：

根据矩形的对角线相等且互相平分的特征，矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形，若矩形的两条对角线的夹角中，如果有60°

或120°

的角，则必有等边三角形．

2．解：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AD．

又∵∠A=60°

，∴△ABD为等边三角形．

∴AB=AD=BD=5．

∴菱形的周长为4AB=5×

4=20．

根据菱形的特征，四条边都相等，所以AB=AD，结合∠A=60°

，可得△ABD为等边三角形，从而求得菱形的边长，进而求得菱形的周长．

3．解：

（1）因为四边形ABCD是正方形．

所以∠BOE=∠AOF=90°

，OA=OB．

又因为AM⊥EB，

所以∠MAE+∠MEA=90°

=∠OBE+∠MEA．

所以∠MAE=∠OBE．

所以△AOF绕O点逆时针方向旋转90°

可与△BOE重合．

所以OE=OF．

（2）OE=OF仍成立，说明如下：

因为四边形ABCD是正方形，

，BO=AO．

因为AM⊥EB，所以∠OEB+∠OAM=90°

=∠OFA+∠OAM．

所以∠OEB=∠OFA．

所以△AOF绕O点逆时针旋转90°

后可与△BOE重合．

要使OE=OF，只需证明△AOF和△BOE重合，根据已知条件和正方形的特征易得到，“问题”的基本思路是先假设结论成立，然后用分析法探求其成立条件，若题设所给条件满足要求，则成立，反之则不成立．

4．解：

∵四边形ABCD是正方形．

∴AB=AD，∠BAF=∠DAF．

∴△ABF与△ADF全等．

∴∠AFD=∠AFB．

∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB．

∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°

+60°

=150°

，

∴∠CBE=15°

∵∠ACB=45°

∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°

∴∠AFD=60°

易得△ABF与△ADF全等，∠AFD=∠AFB，因此只要求出∠AFB的度数即可．由∠AFB=∠ACB+∠EBC，∠ACB=45°

，转化为求∠EBC的度数，在等腰△BCE中可求得．

5．

（1）解：

在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB，∠1+∠2=180°

又∵∠EFG=55°

由对称性可知∠GEF=∠DEF=55°

∴∠1=180°

-∠GEF-∠DEF=70°

∴∠2=180°

-∠1=110°

（2）解：

设DE=xcm，则有DE=BE=x．

∵AD=10cm，∴AE=（10-x）cm．

在Rt△ABE中，

BE2=AB2+AE2，

即x2=42+（10-x）2，

解得x=

∴BE的长为

cm．

（1）由矩形对边平行，知道∠DEF=∠EFG=55°

，而∠DEF与∠FEG是对应角，故∠FEG=∠DEF=55°

，进而由平角定义，求出∠1=180°

-∠DEF-∠FEG，而∠1与∠2互补，从而求出∠2．

（2）可设DE长度为xcm，由折叠可知DE=BE，从而AE=10-x，在Rt△ABE中，应用勾股定理列方程：

BE2=AB2+AE2，即x2=42-（10-x）2，从而求出x．

6．3cm提示：

△ABC为Rt△，AB为斜边，CD为斜边上的中线．

7．20cm

8．6cm提示：

在Rt△ABC中，∠C=30°

9．30cm2提示：

菱形对角线互相垂直，其面积为

×

5×

12．

10．如图，过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H，则得矩形BGHC．

∴GH=BC=AB，BG=CH，

∵∠HGF+∠AGE=90°

，∠BAE+∠AGE=90°

∴∠BAE=∠HGF．

∵∠ABE=∠CHG=90°

，AB=GH，

∴△ABE≌△GHF．

∴BE=FH=FC+CH=FC+BG．

11．解：

延长DC至N，使CN=AE，连接BN，

则△ABE与△CBN全等．

∴∠ABE=∠CBN，BE=BN，

∵四边形ABCD为正方形，∴CD∥AB．

∴∠NFB=∠ABF，

∵∠ABF=∠ABE+∠EBF，∠NBF=∠NBC+∠CBF，∠EBF=∠FBC，

∴∠NBF=∠NFB，∴BN=NF=CN+CF，

∴BE=AE+CF．

1．D点拨：

菱形对角线是互相垂直平分，但不一定相等．

2．B点拨：

菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半．

3．B点拨：

由矩形是中心对称图形，对称中心为O，则S△EOB=S△FOD．

4．C点拨：

利用矩形对角线相等且互相平分．

5．60°

菱形的一条对角线与两边组成一个等边三角形．

6．解：

在矩形ABCD中，OA=OB=OD，

∵△AOD的周长比△AOB的周长大8，

则AD-AB=8①，

又∵2（AD+AB）=80②，

解①②得AD=24，AB=16．

∴S矩形ABCD=24×

16=384（cm2）．

利用矩形的对角线相等且互相平分．

7．B点拨：

当矩形两条对角线夹角中有一个为60°

时，一定有等边三角形．

8．B点拨：

S矩形=20×

30=600，S△AB