第五章相似矩阵及二次型Word下载.docx

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[b1,a2]b

3

2

[b,b]1

[b2,a3]13

b

[b,b]253

4

2下列矩阵是不是正交阵:

（1）11

;

11

32

8

9

7

解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵

（2）

解该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为

正交阵

3设x为n维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称

的正交阵

证明因为

HT（E2xxT）TE2（xxT）TE2（xxT）T

E2（xT）TxTE2xxT

所以H是对称矩阵

因为

HTHHH（E2xxT）（E2xxT）

E2xxT2xxT（2xxT）（2xxT）

E4xxT4x（xTx）xT

E4xxT4xxT

E

所以H是正交矩阵

4设A与B都是n阶正交阵证明AB也是正交阵

证明因为AB是n阶正交阵故A1ATB1BT

（AB）T（AB）BTATABB1A1ABE

故AB也是正交阵

5求下列矩阵的特征值和特征向量:

（1）

5

3;

2l

解

|A

lE|

3l

（l1）3

故A的特征值为l1（三重）

对于特征值l1由

AE5

12

23~

01

101

011

000

得方程（AE）x0的基础解系p1（111）T向量p1就是对应于特

征值l1的特征值向量.

123

213;

336

1l23

解|A

21l3

336l

l（l

1）（l9）

故A的特征值为l10l21l39

对于特征值l10由

A213~

得方程Ax0的基础解系p1（111）T向量p1是对应于特征值

l10的特征值向量.

对于特征值l21,由

223

AE223~

337

001

得方程（AE）x0的基础解系p2（110）T向量p2就是对应于特

征值l21的特征值向量

对于特征值l39由

A9E

823111

283~011

333002

得方程（A9E）x0的基础解系p3（1/21/21）T向量p3就是对应

于特征值l39的特征值向量

00

10

（3）.

l001

0l10

01l0

100l

（l1）2（l

1）2

故A的特征值为l1l2

l3l41

对于特征值l1l2

由

100

AE~

1001

0110

0000

得方程（AE）x0的基础解系p1（1001）Tp2（0110）T向

量p1和p2是对应于特征值l1l21的线性无关特征值向量

1001

对于特征值l3l41

AE0

~

0110

00000

10000

得方程（AE）x0的基础解系p3（1001）Tp4（0110）T向量

p3和p4是对应于特征值l3l41的线性无关特征值向量

6设A为n阶矩阵证明AT与A的特征值相同证明因为

|ATlE||（AlE）T||AlE|T|AlE|

所以AT与A的特征多项式相同从而AT与A的特征值相同

7设n阶矩阵A、B满足R（A）R（B）n证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量

证明设R（A）rR（B）t则rtn

若a1a2anr是齐次方程组Ax0的基础解系显然它们是

A的对应于特征值l0的线性无关的特征向量

类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则

它们是B的对应于特征值l0的线性无关的特征向量

由于（nr）（nt）n（nrt）n故a1a2anrb1b2bnt

必线性相关于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使

k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0

记gk1a1k2a2knranr（l1b1l2b2lnrbnr）

则k1k2knr不全为0否则l1l2lnt不全为0而

l1b1l2b2lnrbnr0

与b1b2bnt线性无关相矛盾

因此g0g是A的也是B的关于l0的特征向量所以A与

B有公共的特征值有公共的特征向量

8设A23A2EO证明A的特征值只能取1或2

证明设l是A的任意一个特征值x是A的对应于l的特征

向量则

（A23A2E）xl2x3lx2x（l23l2）x0

因为x0所以l23l20即l是方程l23l20的根也就是

说l1或l2

9设A为正交阵且|A|1证明l1是A的特征值证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特

征值为1即l1是A的特征值

10设l0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明l也是n阶矩阵BA的特征值

证明设x是AB的对应于l0的特征向量则有

（AB）xlx

于是B（AB）xB（lx）

或BA（Bx）l（Bx）

从而l是BA的特征值且Bx是BA的对应于l的特征向量

11已知3阶矩阵A的特征值为123求|A35A27A|

解令j（l）l35l27l则j

（1）3j

（2）2j（3）3是j（A）的

特征值故

|A35A27A||j（A）|j

（1）j

（2）j（3）32318

12已知3阶矩阵A的特征值为123求|A*3A2E|

解因为|A|12（3）60所以A可逆故

A*|A|A16A1

A*3A2E6A13A2E

令j（l）6l13l22则j

（1）1j

（2）5j（3）5是j（A）的

|A*3A2E||6A13A2E||j（A）|

j

（1）j

（2）j（3）15（5）25

13设A、B都是n阶矩阵且A可逆证明AB与BA相

似

证明取PA则

P1ABPA1ABABA

即AB与BA相似

14设矩阵A

解由

201

31x

405

可相似对角化求x

|AlE|

2l01

31lx

405l

（l1）2（l6）

得A的特征值为l16l2l31

因为A可相似对角化所以对于l2l31齐次线性方程组

1r

101

（AE）

30

x~00x

40

000

（AE）x0有两个线性无关的解因此R（AE）1由

知当x3时R（AE）1即x3为所求

15已知p（111）T是矩阵A

量

212

5a3

1b2

的一个特征向

（1）求参数ab及特征向量p所对应的特征值

解设l是特征向量p所对应的特征值则

2l1

（AlE）p0即

5al

1b

2l

解之得l1a3b0

（2）问A能不能相似对角化？

并说明理由

2l12

|AlE|53l3

（l1）3

102l

得A的特征值为l1l2l31

12r

AE

23~01

b1

知R（AE）2所以齐次线性方程组（AE）x0的基础解系只有一

个解向量因此A不能相似对角化

16试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称阵化为对角