高考数学文科一轮复习 第42讲直线 平面垂直的判定与性质Word文档下载推荐.docx
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证明直线和平面垂直
一条直线与一个平面内的 都垂直,则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
如果两条平行直线中的 垂直于一个平面,那么 也垂直于同一个平面
⇒b⊥α
性质
如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的 都垂直
⇒a⊥b
证明两条直线垂直
垂直于同一个 的两条直线平行
⇒a∥b
证明两条直线平行
2.两个平面垂直
两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.
(2)两个平面垂直的判定和性质
类别
符号表示
根据定义,证明两平面所成的二面角是
∠AOB是二面角α-l-β的平面角,且 ,则α⊥β
证明两个平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条 ,那么这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
如果两个平面垂直,那么它们所成 是直角
α⊥β,∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则
证明两条直线垂直
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于
证明直线与平面垂直
常用结论
1.与线面垂直相关的两个常用结论:
(1)两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直;
(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直.
2.三种垂直关系的转化:
线线垂直
线面垂直
面面垂直
题组一 常识题
1.[教材改编]已知两条直线a,b和平面α,且a⊥α,b∥α,则a与b的位置关系为 .
2.[教材改编]一条直线和一个三角形的两边同时垂直,则这条直线和这个三角形的第三边的位置关系是 .
3.[教材改编]若PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则所形成的平面中一定互相垂直的平面有 对.
4.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的 心;
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的 心.
题组二 常错题
◆索引:
证明线面垂直时,易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件;
面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直;
注意排除由平面到空间的思维定式的影响.
5.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下列给出的条件中:
①α⊥β且m⊂α;
②α⊥β且m∥α;
③m∥n且n⊥β;
④m⊥n且α∥β.一定能推出m⊥β的是 .(填序号)
6.如图7-42-1,∠BAC=90°
PC⊥平面ABC,则在△ABC和△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有 ;
与AP垂直的直线有 .
图7-42-1
图7-42-2
7.如图7-42-2所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=
a,则它的5个面中,互相垂直的面有 对.
图7-42-3
8.如图7-42-3所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
探究点一 垂直关系的基本问题
例1
(1)[2017·
全国卷Ⅲ]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )
A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC
(2)[2018·
辽宁丹东质检]若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n
B.若m∥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n
C.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n
D.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m∥n
[总结反思]解决空间中线面、面面垂直的基本问题有以下几种方法:
(1)依据定理得出结论;
(2)可结合符合题意的图形作出判断;
(3)否定命题时只需举一个反例.
变式题
(1)[2018·
辽宁抚顺模拟]给出下列四个说法:
①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行,那么a∥α;
②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直;
③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直;
④若两个相交平面都垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面.
其中正确说法的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
安徽合肥三模]若l,m为两条不同的直线,α为平面,且l⊥α,则“m∥α”是“m⊥l”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
探究点二 线面垂直的判定与性质
例2[2018·
安徽江淮十校三联]如图7-42-4,在四棱锥A-BCDE中,EB∥DC,且EB⊥平面ABC,EB=1,DC=BC=AB=AC=2,F是棱AD的中点.
(1)证明:
EF⊥平面ACD;
(2)求三棱锥D-ACE的体积.
图7-42-4
[总结反思]
(1)解决直线与平面垂直问题的常用方法:
①利用线面垂直的定义;
②利用线面垂直的判定定理;
③利用线面垂直的性质;
④利用面面平行的性质;
⑤利用面面垂直的性质定理.
(2)求体积,常用方法:
(a)割补法;
(b)转化法;
(c)换底法.在立体几何图形中,四面体和平行六面体是可以换底的.
变式题如图7-42-5所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形ABC是等腰直角三角形,且斜边AB=
侧棱AA1=2,D为AB的中点,点E在线段AA1上,AE=λAA1(λ为实数).
(1)求证:
不论λ取何值,恒有CD⊥B1E;
(2)当λ=
时,求多面体C1BECD的体积.
图7-42-5
探究点三 面面垂直的判定与性质
例3[2018·
全国卷Ⅰ]如图7-42-6所示,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°
.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=
DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
图7-42-6
[总结反思]
(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是:
先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;
若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线应有理论根据并有利于证明.
(2)证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现.
变式题[2018·
贵州凯里一中月考]如图7-42-7所示,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是边长为
的正方形,PB=PD=3
PC=4.
平面PBC⊥平面ABCD;
(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BDE的体积.
图7-42-7
完成课时作业(四十二)