《小学数学经典专题课程集锦》.doc

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梁老师奥数培优

目录

行程综合………………………………………………………3

圆的周长和面积………………………………………………14

解决问题的策略………………………………………………21

行程问题………………………………………………………34

探索规律………………………………………………………47

工程问题………………………………………………………54

小学方程与应用题专题解析…………………………………66

小升初应用题解题指导课程…………………………………79

行程综合

【知识梳理】

基本公式：

路程＝速度×时间

基本类型

相遇问题：

速度和×相遇时间＝相遇路程；

追及问题：

速度差×追及时间＝路程差；

流水问题：

关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；

顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速

静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2

水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2

（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）

时钟问题:

时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

具体是：

整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：

每分钟走1小格，每分钟走6度，时针速度：

每分钟走小格，每分钟走0.5度。

其他问题：

利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；

复杂的行程

1、多次相遇问题；

2、环形行程问题；

3、运用比例、方程等解复杂的题；

【典例剖析】

例1甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的,二人相遇后继续行进，甲到B地、

乙到A地后立即返回。

已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B

两地相距多少千米？

【分析】此题为直线型的多次相遇问题，我们可以借助图形和比例解题。

【解】如图：

C为第一次相遇的地点，D为第二次相遇的地点，将AC作为3份，则CB是2份

第一次相遇，甲、乙共走一个AB，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此，

乙应走CB的2倍，即4份，从而AD是1份，DC是2份（＝3－1）。

但已知DC是20千米，所以AB的长度是20÷2×（2+3）＝50（千米）

答：

A、B两地相距50千米。

反馈练习：

1、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。

他们各自到达对方车站后立即返回

原地，途中又在距A地42千米处相遇。

求两次相遇地点的距离。

例2甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从地,丙一人从地同时相向出发,

丙遇到乙后2分钟又遇到甲,、两地相距多少米？

【分析】这是择校考常考题，本题有两种解答方法。

【解】

解法一依题意,作线段图如下:

甲2分钟丙

乙

丙遇到乙后2分钟再遇到甲,2分钟甲、丙两人共走了（50+70）×2=240（米）,

这就是乙、丙相遇时乙比甲多走的路程.又知乙比甲每分钟多走60-50=10（米）.

由此知乙、丙从出发到相遇所用的时间是240÷10=24（分）.

所以,、两地相距（60+70）×24=3120（米）.

解法二甲、丙相遇时,甲、乙两人相距的路程就是乙、丙相背运动的路程和,即（60+70）×2=260（米）.

甲、乙是同时出发的,到甲、丙相遇时,甲、乙相距260米,所以,从出发到甲、丙相遇需260÷（60-50）=26（分）.

所以,、两地相距（50+70）×26=3120（米）.

答：

、两地相距3120米

例3甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙

每秒钟跑4米，问：

他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

【分析】这是一道环形跑道的多次相遇问题。

要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲

最后一次离开出发点又跑出了多少米。

我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多

远。

不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×10=3000米）。

因

为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，由上一讲我们可以知道，这段时间内

甲共行1400，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米知道甲还需行

100（=300-200）米。

　　1400÷300=4（圈）……200（米）

　　300-200=100（米）

答：

甲还需跑100米才能回到出发点.

反馈练习：

2、如下图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次

相遇，在D点第二次相遇。

已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。

例4有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。

每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。

有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。

他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。

在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。

这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。

问他从乙站到甲站用了多少分钟?

【解】因为电车每隔5分钟发出一辆，15分钟走完全程。

骑车人在乙站看到的电车是15分钟以前发出的，可以推算出，他从乙站出发的时候，第四辆电车正从甲站出发。

骑车人从乙站到甲站的这段时间里，甲站发出的电车是从第4辆到第12辆。

电车共发出9辆，共有8个间隔，于是5×8＝40（分）

答：

他从乙站到甲站用了40分钟。

例5有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?

【分析】常见钟表（机械）的构成：

一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟（1小时），时针的速度为分针速度的．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“”．

【解】在10点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“”，于是需要时间：

．所以，再过分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过分钟，时针与分针第二次重合．

答：

再过分钟，时针与分针将第一次重合，再经过分钟，时针与分针第二次重合．

反馈练习：

3、现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

例6一辆车从甲地开往乙地。

如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120

千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达。

那么甲乙两地相距多少千米？

【分析】与分数百分数相结合的行程问题

【解】车速提高20%，速度比为5：

6，路程一定的情况下，时间比应为6：

5，所以以原始速度行完全

程的时间为1÷（6－5）×6=6小时。

以后一段路程为参考对象，车速提高25%，速度比为4：

5，

所用时间比应该为5：

4，提前40分钟到达，则用规定速度行驶完这一段路程需要40×5=200

分钟，所以甲乙两地相距270千米。

答：

甲乙两地相距270千米。

反馈练习：

4、甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。

出发时，甲、乙的速度比是5：

4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。

那么A、B两地相距多少千米？

例7学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七

点回到学校。

已知他们的步行速度平地为4千米／时，上山为3千米／时，下山为6千米／时。

问：

他们一共走了多少千米？

【分析】运用方程解题

【解】方法一：

设下山用t时，则上山用2t时，走平路用（6-3t）时。

全程为4（6-3t）＋3×2t＋6×t＝24（千米）。

方法二：

设山路有X千米，则上山用时间X/3小时，下山用X/6小时，

计算平均速度为2X/（X/3+X/6）=4千米/小时，与平地速度一样。

所以一共走了6×4=24千米。

答：

他们一共走了24千米

【过关练习】

1、甲、乙两地间的路程是600千米,上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地.货车以平

均每小时50千米的速度从乙地开往甲地.要使两车在全程的中点相遇,货车必须在上午几点出发？

2、王明回家,距家门300米,妹妹和小狗一齐向他奔来,王明和妹妹的速度都是每分钟50米,小狗的速度是每

分钟200米,小狗遇到王明后用同样的速度不停往返于王明与妹妹之间.当王明与妹妹相距10米时,小狗

一共跑了多少米？

3、甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从地,丙一人从地同时相向出发,丙

遇到乙后2分钟又遇到甲,、两地相距多少米.

4、钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？

5、客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时。

两车在中途

相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80％，求甲、乙两地的距离。

【提高练习】

1、甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发

15分，出发后1时追上丙。

甲出发后多长时间追上乙？

2、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。

他们两人下山的速度都是各自上山速度的

2倍。

甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。

求从山脚到山顶的距离。

3、在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？

5、小明早上从家步行到学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明

送书，追上时，小明还有的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。

这样，小明就

比独自步行提早了5分钟到学校，小明从家到学校全部步行需要多少分钟？

6、某体育馆有两条周长分别为150米和250米的圆形跑道〔如图〕，甲、乙两个运动员分别从两条跑道相

距最远的两个端点A、B两点同时出发，当跑到两圆的交汇点C时，就会转入到另一个圆形跑道，且

在小跑道上必须顺时针跑，在大跑道上必须逆时针跑。

甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，当乙第5次与