7-1.加法原理.学生版.doc

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加法原理

知识框架图

7计数综合

7-1加法原理

7-1-1分类讨论中加法原理的应用

7-1-2树形图法、标数法及简单的递推

7-1-2-1树形图法

7-1-2-2标数法

7-1-2-3简单递推：

斐波那契数列的应用

教学目标

1.使学生掌握加法原理的基本内容；

2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；

3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．

加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．

知识要点

一、加法原理概念引入

生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．

例如:

王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？

分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．

在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．

二、加法原理的定义

一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有种不同做法，第二类方法中有种不同做法，…，第k类方法中有种不同做法，则完成这件事共有种不同方法，这就是加法原理．

加法原理运用的范围：

完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：

“加法分类，类类独立”．

分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：

①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；

②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．

只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．

运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．

三、加法原理解题三部曲

1、完成一件事分N类；

2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；

3、类类相加

枚举法：

枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．

分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．

例题精讲

模块一、分类讨论中加法原理的应用

【例1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？

（2级）

【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？

（2级）

【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？

（2级）

【例2】从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？

（4级）

【巩固】从1～8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？

（4级）

【例3】甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：

一共有多少种不同的订法？

（4级）

【巩固】大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？

（4级）

【例4】四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张．问：

一共有多少种不同的方法？

（6级）

【例5】（第六届走美试题）一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．（6级）

【例6】把一元钱换成角币，有多少种换法？

人民币角币的面值有五角、二角、一角三种．（6级）

【巩固】一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？

（6级）

【例7】用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?

（6级）

【巩固】一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、钢笔每支2元5角．小明要在该店花5元5角购买两种文具，他有多少种不同的选择．（6级）

【例8】袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有________种可能．（2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动）（6级）

【例9】1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号（最少插一个乘号），可以得到多少个不同的乘积?

（4级）

【例10】1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：

小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?

（6级）

【巩固】1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：

小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?

（6级）

【巩固】2007的数字和是2+0+0+7=9，问：

大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?

（6级）

【巩固】在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？

（6级）

【例11】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如，等等，这类数共有个.（8级）

【例12】如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比他右边数位上的数字小，那么我们称它为迎春数．那么，小于2008的迎春数一共有多少个？

（8级）

【例13】有些五位数的各位数字均取自1，2，3，4，5，并且任意相邻两位数字（大减小）的差都是1．问这样的五位数共有多少个？

（10级）

模块二、树形图法、标数法及简单的递推

一、树形图法

“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．

【例14】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一次传球），这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？

（2005年《小数报》数学邀请赛）（6级）

【巩固】一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？

（6级）

【例15】甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：

一共有多少种可能的情况？

（6级）

二、标数法

适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数．标数法是加法原理与递推思想的结合．

【例16】如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？

（4级）

【巩固】如图，从点到点的最近路线有多少条？

（4级）

【例17】如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的处沿最短的路线走到东北角出，由于修路，十字路口不能通过，那么共有＿＿＿＿种不同走法．（6级）

【例18】如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？

（6级）

【例19】如图为一幅街道图，从出发经过十字路口，但不经过走到的不同的最短路线有条.（8级）

【解析】到各点的走法数如图所示.

图1

【例20】小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在点，他去少年宫都是走最近的路，且每次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．（8级）

【例21】在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？

（6级）

【例22】在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？

（6级）

【巩固】在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少种？

（6级）

【例23】如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续（即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻），这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法．（6级）

【例24】如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？

（6级）

【例25】在下图中，用水平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走是，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？

（6级）

【巩固】如图，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖国明天更美好”，那么可读成“祖国明天更美好”的路线有条.（6级）

祖

祖

国

祖

祖

国

明

国

祖

祖

国

明

天

明

国

祖

祖

国

明

天

更

天

明

国

祖

祖

国

明

天

更

美

更

天

明

国

祖

祖

国

明

天

更

美

好

美

更

天

明

国

祖

图1

【巩固】（第三届“希望杯”2试试题）右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法.（6级）

【例26】如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”.（6级）

图1

【例27】图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码走到小号码，从1号房间走到10号房间共有多少种不同的走法？

（8级）

【例28】国际象棋中“马”的走法如图所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的方格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图中标有△的位置），要走到第八行第五列（图中标有＠的位置），最短路线有________条．【2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动】（8级）

【例29】从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的航线，其他城市间的航线如图所示（虚线表示在地球背面的航线），则从北京出发沿航线到达其他所有城市各一次的所有不同路线有多少？

（8级）

【例30】一个实心立方体的每个面分成了四部分．如图所示