基本初等函数ⅠWord下载.docx

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（2）“对数值”、“幂值”大小的比较，解含指数、对数式的不等式，一般以选择题、填空题方式呈现，主要考查幂、指、对函数的单调性等，难度为容易题或中等题．

（3）幂、指、对函数的图象变化规律，以识图、用图为主要考查目标，难度为中等题或易题，难度较大的题有时也出．

（4）二次函数主要考查其性质及应用，尤其是二次函数、二次方程、二次不等式的综合应用．重点考查数形结合与等价转换两种数学思想．

二、复习预习

复习指数、对数运算；

三、知识讲解

考点1

1.指数、对数的运算性质；

对数恒等式与换底公式

1．指数、对数的运算性质

am·

an＝am＋n；

＝am－n；

（am）n＝amn；

（ab）n＝anbn；

loga（MN）＝logaM＋logaN；

loga

＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM（a>

0且a≠1，b>

0且b≠1，M>

0，N>

0）．

2．对数恒等式与换底公式

alogaN＝N，logaN＝

（a>

0且a≠1，c>

0且c≠1，N>

考点2

2.指数函数与对数函数的图象与性质

指数函数

对数函数

定义域

函数y＝ax（a>

0，a≠1，x∈R）叫指数函数

函数y＝logax（a>

0，a≠1，x>

0）叫对数函数

值域

（0，＋∞）

（－∞，＋∞）

图象

性质

（1）y>

0；

（2）图象恒过点（0,1）；

（3）a>

1，

当x>

0时，y>

1；

当x<

0时，0<

y<

0<

a<

（4）a>

1，在R上y＝ax为增函数；

1，在R上y＝ax为减函数

（1）x>

（2）图象恒过点（1,0）；

1时，y>

当0<

x<

1时，y<

1，在（0，＋∞）上y＝logax为增函数；

1，在（0，＋∞）上y＝logax为减函数

考点3

3.幂函数的性质

函数

特征

y＝x，

y＝x3

y＝x2

y＝

y＝x－1

R

[0，＋∞）

（－∞，0）∪（0，＋∞）

奇偶性

奇函数

偶函数

非奇非偶

单调性

增

x∈[0，＋∞）时，增

x∈（0，＋∞）时，减

x∈（－∞，0]时，减

x∈（－∞，0）时，减

定点

（1,1）

考点4

4.二次函数

（1）二次函数的表示形式

①一般式：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

②配方式（顶点式）：

y＝a（x－h）2＋k（a≠0）

③分解式（标根式，零点式）：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中（x1,0）、（x2,0）为其图象为x轴的两交点．

（2）二次函数在区间上的最值

讨论二次函数的区间最值问题：

①注意对称轴与区间的相对位置；

②注意系数a的符号对抛物线开口方向的影响．

（3）二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系

设f（x）＝ax2＋bx＋c　（a>

0）

①Δ>

0时，f（x）的图象与x轴有两个交点，方程f（x）＝0有两不等实根x1、x2（x1<

x2），f（x）>

0的解集为{x|x<

x1或x>

x2}，f（x）<

0的解集为{x|x1<

x2}．

②Δ＝0时，f（x）的图象与x轴相切，方程f（x）＝0有两相等实根x1＝x2＝－

，不等式f（x）>

0的解集为{x|x∈R且x≠－

}，f（x）<

0的解集为∅.

③Δ<

0时，f（x）的图象与x轴无公共点，方程f（x）＝0无实根，不等式f（x）>

0的解集为R，f（x）<

四、例题精析

考点一指数函数、对数函数的图象与性质

例1　已知命题p1：

函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：

函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：

p1∨p2，q2：

p1∧p2，q3：

（¬

p1）∨p2和q4：

p1∧（¬

p2）中，真命题是（　　）

A．q1，q3　　　　　　　B．q2，q3

C．q1，q4D．q2，q4

．

【规范解答】　

　∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R上是增函数，所以p1：

函数y＝2x－2－x在R上为增函数为真命题，p2：

函数y＝2x＋2－x在R上为减函数为假命题，故q1：

p1∨p2为真命题，q2：

p1∧p2是假命题，q3：

p1）∨p2为假命题，q4：

p2）是真命题．故真命题是q1、q4，故选C.

【总结与反思】

1．幂式、对数式等数值比较大小问题，利用同底数、同指数或同真数等借助于函数单调性或图象求解．

2．含函数符号f的不等式，先化为f（x1）<

f（x2）形式，再利用函数单调性解决．

对于偶函数f（x），有f（x）＝f（|x|）成立．

3．给出解析式判断函数图象的题目，一般借助于平移、伸缩、对称变换，结合特殊点（与坐标轴的交点、最高（低）点、两图象的交点等）作出判断．

考点二幂函数、二次函数的图象与性质

例2已知函数f（x）＝（m2－m－1）

是幂函数，且当x∈（0，＋∞）上是减函数，若（a＋1）－

＜（3－2a）－

，试求a的取值范围．

【规范解答】

解法1：

∵f（x）是幂函数，则m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1，

又f（x）在（0，＋∞）上是减函数，∴m2－2m－3＜0，∴－1＜m＜3，∴m＝2.

原不等式可化为（a＋1）－

⇔（a＋1）－1＜（3－2a）－1⇔

－

＜0⇔

＜0，

解得a＜－1或

＜a＜

，故a的取值范围为{a|a＜－1或

}．

解法2：

由解法1得m＝2，所以不等式即为（a＋1）－

，

∵y＝x－

在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，

∴（a＋1）－

⇔a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0，或a＋1<

3－2a

.故a的取值范围为{a|a＜－1或

1．求二次函数的解析式主要用待定系数法，注意一般式、配方式、标根式的适用范围．

2．二次（型）函数的最值问题，主要结合单调性、对称轴与给定区间的关系讨论．

3．注意三个二次之间的关系的运用．

考点三构造法解题

例3已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）>

f（x）g′（x），且f（x）＝axg（x）（a>

0，且a≠1），

＋

＝

.若数列{

}的前n项和大于62，则n的最小值为（　　）

A．6　　　B．7　　　　

C．8　　　D．9

通过审题可以发现，题目中多处涉及

的形式，x＝1时，即

，x＝－1时，即

，x＝n时，即

，又

＝ax，故这是解题的切入点，构造函数F（x）＝

，则问题迎刃而解．

令F（x）＝

，则F（x）＝ax，F′（x）＝

>

0，∴F（x）单调递增，∴a>

1.

∵F

（1）＋F（－1）＝

＝a＋

，∴a＝2，∴F（x）＝2x，{F（n）}的前n项和Sn＝21＋22＋…＋2n＝

＝2n＋1－2>

62，∴2n＋1>

64，∴n＋1>

6，∴n>

5，∴n的最小值为6.

本题是构造函数法解题的很好的例证．如果对数列求和，那就会误入歧途．本题构造函数f（n），通过单调性求其最小值

解决了不等式恒成立的问题．利用函数思想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路

灵活变通．

考点四恒成立问题

例4设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，对于给定的正数k，定义函数：

fk（x）＝

，取函数f（x）＝2－x－e－x，若对任意的x∈（－∞，＋∞），恒有fk（x）＝f（x），则（　　）

A．k的最大值为2B．k的最小值为2

C．k的最大值为1D．k的最小值为1

【规范解答】　对任意x∈（－∞，＋∞），恒有fk（x）＝f（x）成立，即f（x）≤k恒成立，∵f′（x）＝e－x－1，当x>

0时，f′（x）<

0，当x<

0时，f′（x）>

0，∴f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，从而f（x）在x＝0时取到最大值f（0）＝1，∵f（x）≤k恒成立，∴k≥1，故选D.

“对任意的……恒有……”成立是恒成立问题，由fk（x）的定义知f（x）≤k恒成立，只需求出f（x）的最大值．

课程小结

1．比较幂值大小时，要正确依据底数相同、指数变化，还是指数相同，底数变化来区分应用指数函数性质还是幂函数性质．

2．注意区分f（x）在区间A上单调增（减）和f（x）的单调增（减）区间是A.

3．换元和转化是解决函数问题中常用的方法，要注意保持等价性．