专题5二次函数与面积最值定值问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版Word文档格式.docx

专题5二次函数与面积最值定值问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版Word文档格式.docx

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计算面积长用到的策略还有：

如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图5，同底三角形的面积比等于高的比．

如图6，同高三角形的面积比等于底的比．

图4图5图6

【例1】

（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．

（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；

（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；

（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°

，求点Q的坐标．

【例2】

（2021•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣

x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：

OB＝OD；

（3）在

（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？

若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；

若不存在，请说明理由．

【例3】

（2021•贵港）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；

（3）在

（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝

S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

【例4】

（2021•襄阳）如图，直线y＝

x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．

（1）求出点A，B的坐标及c的值；

（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；

（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．

①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；

②结合S与a的函数图象，直接写出S＞

时a的取值范围．

【题组一】

1．（2021•沈河区二模）如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）．

（2）当点P在第一象限时，设△ACP的面积为S1，△ABP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；

（3）过点O作直线l∥BC，点Q是直线l上的动点，当BQ⊥PQ，且∠BPQ＝∠CAB时，请直接写出点P的坐标．

2．（2021•泰兴市模拟）抛物线y＝ax2+c的顶点为C（0，1），与直线y＝kx+3（k为常数）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2（如图1）．

（1）求a、c的值；

（2）当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2+2AP2，试判断△PAC的形状，并说明理由；

（3）若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF（如图2）．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S1、S2、S3，是否存在常数t，使S22＝t•S1S3？

若存在，求出t的值；

3．（2021•雁塔区校级模拟）如图，抛物线C1的图象与x轴交A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线C1的表达式及点D坐标；

（2）将抛物线C1平移到抛物线C2，点B，C对应的点分别是B′，C′，此时以B，C，B′，C′为顶点的四边形是面积为24的矩形，请求出抛物线C2的表达式，并写出平移过程．

4．（2021•丽江模拟）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数），抛物线的顶点为A．

（1）求抛物线顶点A的坐标（用含m的式子表示）；

（2）求证：

无论m取何值，该抛物线与x轴都有两个交点；

（3）该抛物线与x轴的两个交点分别为B，D，点B在点D的右侧，与y轴的交点为C．当|m|≤

，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值？

如果有，请求出最大值；

如果没有，请说明理由．

【题组二】

5．（2020•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：

7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？

并求出最大值；

（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．（直接写出结果即可）

6．（2020•湘阴县一模）平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°

，得到平行四边形A'

B'

OC'

．

（1）若抛物线过点C，A，A'

，求此抛物线的解析式；

（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A'

重叠部分△OC'

D的周长；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：

点M在何处时；

△AMA'

的面积最大？

最大面积是多少？

并求出此时M的坐标．

7．（2020•江都区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°

，A（2，1）．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；

（3）在

（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？

若存在，求出点P的坐标；

8．（2020•南宁模拟）如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点．

（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；

（3）已知H（0，﹣1），点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF＝BC，求点G的坐标．

【题组三】

9．（2020•浙江自主招生）如图①，抛物线y＝﹣x2+（m﹣2）x+3与y轴交于点C，与直线y＝mx交于A，B两点（点A，B分别在第一，三象限），连结AC．

（1）当AC⊥AB时，求m的值；

（2）如图②，D是y轴负半轴上一点，且满足∠BDO＝∠ACO，连结DA，DB，CB，求四边形DACB的面积．

10．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．

（1）若A（﹣1，0），B（3，0）两点，求该抛物线的解析式；

（2）在

（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？

若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；

若没有，请说明理由；

（3）直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．

11．（2020•驻马店二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝x﹣2交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？

若存在，直接写出点Q的坐标；

12．（2020•三水区校级二模）如图

（1），抛物线y＝ax2+bx经过A和B（3，﹣3）两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4．

（2）若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方（不与O、B重合），过M作MK⊥x轴，交直线BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M的坐标；

（3）如图

（2），过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S△OCD：

S△OCQ＝3：

2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【题组四】

13．（2020•临清市二模）如图，抛物线y

x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝2OC＝4．

（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接PA，PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，当MN＝2时，求点M的坐标．

14．（2020•黄冈模拟）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为（﹣4，0）．

（1）求这条抛物线的解析式；

并写出顶点坐标；

（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；

（3）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；

（4）在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．

15．（2020•东胜区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；

（3