高中数学教学案解决有关测量角度的问题文档格式.docx
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推进新课
【例1】
（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°
的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°
的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?
（角度精确到0.1°
距离精确到0.01nmile）
[合作探究]
学生看图思考．
师要想解决这个问题，首先应该搞懂“北偏东75°
的方向”．
生这是方位角．
生这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB，就可以知道AC的方向和路程．
师根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路．下面请同学写一下解题过程.
生解：
在△ABC中，∠ABC=180°
-75°
+32°
=137°
，根据余弦定理，
≈113.15.
根据正弦定理,
≈0.3255,
所以∠CAB≈19.0°
75°
-∠CAB=56.0°
.
答:
此船应该沿北偏东56.0°
的方向航行,需要航行113.15nmile.
师这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位．
【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°
相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°
的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？
需要多少时间才追赶上该走私船？
[合作探究]
师你能否根据题意画出方位图？
（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面示意图，图画的好坏有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面）
生甲如右图．
师从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢?
生引入时间这个参变量,可以设x小时后追上走私船.
生如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,∠ACB=75°
+45°
=120°
则由余弦定理，可得
（14x）2=92+（10x）2-2×
9×
10xcos120°
∴化简得32x2-30x-27=0，即x=
或x=-
（舍去）.
所以BC=10x=15,AB=14x=21.
又因为sin∠BAC=
∴∠BAC=38°
13′,或∠BAC=141°
47′（钝角不合题意，舍去）.
∴38°
13′+45°
=83°
13′.
答：
巡逻艇应该沿北偏东83°
13′方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
师这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解决呢？
生同上解得BC=15,AB=21,
在△ABC中，由余弦定理，得
≈0.7857,
∴∠CAB≈38°
13′,38°
∴巡逻艇应沿北偏东83°
13′的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船．
课堂练习
课本第18页练习.
答案：
运用余弦定理求得倾斜角α约为116.23°
.
[方法引导]
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
[知识拓展]
1.如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°
，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45°
，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
解：
在△ABC中，BC=30，B=30°
，
∠ACB=180°
-45°
=135°
∴A=15°
由正弦定理知
∴
.
∴
.∴A到BC所在直线的距离为
AC·
sin45°
=（15
+15
）·
=15（
+1）≈40.98＞38（海里），
∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．
不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．
2.如图，有两条相交成60°
角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行，
（1）起初，两人的距离是多少？
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？
（1）因甲、乙两人起初的位置是A、B，
则AB2=OA2+OB2-2OA·
OBcos60°
=32+12-2×
3×
1×
=7,
∴起初，两人的距离是
千米．
（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
则AP=4t,BQ=4t,
当0≤t≤
时，PQ2=（3-4t）2+（1+4t）2-2（3-4t）（1+4t）cos60°
=48t2-24t+7;
当t＞
时,PQ2=（4t-3）2+（1+4t）2-2（4t-3）（1+4t）cos120°
=48t2-24t+7,
所以，PQ=48t2-24t+7．
（3）PQ2=48t2-24t+7=48（t-
）2+4,
∴当t=
时，即在第15分钟末，PQ最短．
在第15分钟末，两人的距离最短．
课堂小结
在实际问题（航海、测量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：
①根据题意作出示意图；
②所涉及的三角形，搞清已知和未知；
③选用合适的定理进行求解；
④给出答案．
布置作业
课本第22页习题1.2第9、10、11题.
板书设计
解决有关测量角度的问题
例1 例2 课堂练习
布置作业
备课资料
一、备用例题
1.如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°
处，甲船自A以50海里/时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/时的速度沿方位角150°
方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？
设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC=（100-50x）海里，BD=30x
海里（0≤x≤2），∠CBD=60°
，由余弦定理得
CD2=（100-50x）2+（30x）2-2·
（100-50x）·
30x·
cos60°
=4900x2-13000x+10000.
∴当
（小时）时，CD2最小，从而得CD最小.
∴航行
小时，两船之间距离最近．
2．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，∠ACD=45°
∠ADC=75°
目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°
∠BDC=15°
．求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）．
在△ACD中，∠CAD=180°
-∠ACD-ADC=60°
CD=6000,∠ACD=45°
根据正弦定理，有
同理，在△BCD中，∠CBD=180°
-∠BCD-∠BDC=135°
CD=6000,∠BCD=30°
根据正弦定理,有
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°
根据勾股定理,有
所以炮兵阵地到目标的距离为1000
米.
二、常用术语与相关概念
（1）坡度（亦叫坡角）：
坡与水平面的夹角的度数．
（2）坡比：
坡面的铅直高度与水平宽度之比，即坡角的正切值．
（3）仰角和俯角：
与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．
（4）方向角：
从指定方向线到目标方向线的水平角．
（5）方位角：
从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．
1.2.4 解决有关三角形计算的问题
本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法，即在不同已知条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识,求出需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”,教科书在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明．例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题.
关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的高和面积的问题,教科书直接给出了计算三角形的高的公式
hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA.
这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到，教科书证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式
S=
absinC,S=
bcsinA,S=
casinB.
教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.
教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.
教具准备三角板、投影仪等
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．
1.本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型;
2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让
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