中考数学复习 隐形圆问题大全后有专题练习无答案Word文档格式.docx

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E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为

（3）ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为 

.

先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；

因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：

√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：

缩小即得O点路径。

如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=3

二定线+定角

与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。

（1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°

时求DP的长.　 

AB为定线，∠APB为定角（90°

），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。

（2）如图，∠XOY=45°

，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB=2，那么OC的最大值为 

AB为定线，∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°

的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=

+1+

（3）已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为_____．

作ΔABC的处接圆M，当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。

如下图，易得C点坐标为（0，2

）或（0，-2

）。

（4）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax^2-3ax-4a的图象经过点C（0,2）,交轴于点A、B，（A点在点左侧）,顶点为D.

①求抛物线的解析式及点A、B的坐标;

②将ΔABC沿直线BC对折,点A的对称点为A'

试求A'

的坐标;

③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC？

若存在,求出点P的坐标;

若不存在,请说明理由.

简析③：

定线BC对定角∠BPC=∠BAC，则P点在以BC为弦的双弧上（关于BC对称），如下图所示。

三三点定圆

不在同一直线上的三点确定一个圆。

ΔABC中，∠A＝45°

，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的长。

作ΔABC的外接圆，如下图，易得AD=7+5=12。

四四点共圆

对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。

因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°

，知D、F、C、E、P共圆，如下图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∼ΔDCF，CF：

AP＝CD：

AD，得CF＝1.5。

五旋转生圆

1.如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为_____。

CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC，二是最近点距离为P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如下图。

2.如图，在ΔABC中，∠BAC=90°

，AB=5cm，AC=2cm，将ΔABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ΔA'

B'

C的位置，则线段AB扫过区域的面积为_____。

扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。

六动圆综合

1.动圆+定弦：

依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。

如图,△ABC中,∠ABC＝90°

AB＝6,BC＝8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为 

. 

图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO＝5，当BO为直径时最小，所以EF最小为5.

2.动圆+定线：

相切时为临界值。

如图,Rt△ABC中,∠C＝90°

∠ABC＝30°

AB＝6,点D在AB边上,点E是BC边上一点（不与点B、C重合）,且DA＝DE,则AD的取值范围是 

因DA=DE，可以D点为圆心以DA为半径作圆，则圆D与BC相切时，半径DE最小。

E向B点移动半径增大直至D到B处（不含B点），得2≤AD<

3。

3.动弦+定角：

圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小。

已知：

△ABC中，∠B=45°

，∠C=60°

，D、E分别为AB、AC边上的一个动点，过D分别作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，过E作EH⊥AB于H，EI⊥BC于I，连FG、HI，

求证：

FG与HI的最小值相等。

可以看HI何时最小，因B、H、E、I共圆，且弦HI所对圆周角一定，所以当此圆直径最小时弦HI最小，即当BE最小时，此时BE⊥AC，解△OHI可得HI的最小长度。

同样可求FG的最小长度。

此题可归纳一般结论：

当∠ABC=α，∠ACB=β，BC=m时，FG和HI的最小值均为m*sinα*sinβ。

达标测试：

1.BC＝AC＝6，∠BCA＝90°

，∠BDC＝45°

，AD＝2，求BD.

2.如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°

得到线段AC，继续旋转α（0°

＜α＜120°

）得到线段AD，连接CD，BD，则∠BDC的度数为 

3.如图，在边长为2√3的等边△ABC中，动点D、E分别在BC、AC边上，且保持AE=CD，连接BE、AD，相交于点P，则CP的最小值为____.

4.如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：

FE＝DE.

5.当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何观赏最理想吗？

如图，设墙壁上的展品最高点P距离地面2.5米，最低点Q距地面2米，观察者的眼睛E距地面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为 

米.

6.如图直线y=x+2分别与x轴，y轴交于点M、N，边长为1的正方形OABC的一个顶点O在坐标系原点，直线AN与MC交于点P，若正方形OABC绕点O旋转一周，则点P到点（0,1）长度的最小值是____.