浅谈高中数学新课程中立体几何Word文档格式.docx

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有些内容不明确，教还是不教，难以把握。

本文结合《标准》《普通高中课程标准实验教科书·

数学》和实验教师的反映，以“立体几何”部分的内容与要求为例，谈一下粗浅的认识，希望对教学有一定的帮助。

一、“立体几何”部分到底包括哪些内容

“立体几何”是高中数学非常经典的内容，也是非常重要的内容。

回顾上个世纪90年代以后开始的近20年的高中数学课程改革，1997年前，“立体几何”部分单独成册《立体几何》，与《代数》（上册）同时开设，在高一两个学期完成，《立体几何》约需57课时。

1997年后，《全日制普通高级中学数学教学大纲》把“立体几何”部分的内容缩为一章“直线、平面、简单几何体”，再加上“研究性学习课题：

多面体欧拉定理的发现”，共39课时。

翻看《全日制中学数学教学大纲（高中部分）》（修订本）和《全日制普通高级中学数学教学大纲》，其教学内容和具体要求（或教学目标）都是分开表述，学什么，达到什么目标，比较清晰。

《普通高中数学课程标准（实验）》中“立体几何”部分的内容，放在《数学2》“立体几何初步”，选修2-1“空间向量与立体几何”，以及系列3和系列4的部分专题中，如“选修3-3球面上的几何”中等等，而且必修课程和选修课程分得比较开。

由于选修系列1的学生只学习《数学2》中的“立体几何初步”，选修系列2的学生学习“空间向量与立体几何”，所以，我们认为，现在的高中数学新课程中的“立体几何”部分包括《数学2》中的“立体几何初步”和选修2-1中“空间向量与立体几何”，它们共30课时。

1、现在高中数学新课程中“立体几何”部分的教学内容是不是过去“直线、平面、简单几何体”内容的真子集。

实际是这种情况吗？

答案是否定的。

从《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中课程标准实验教科书·

数学2》（以下简称《数学2》）看，新课程“立体几何”部分新增了一些内容：

平行投影、中心投影、三视图。

这些内容与义务教育阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔接，而“直线、平面、简单几何体”没有这部分内容。

增加这部分内容的主要目的是进一步认识空间图形，通过三视图以及空间几何体与其三视图的互相转化，对空间图形有比较完整的认识，培养和发展学生的几何直观能力和空间想象能力，更全面地把握空间几何体。

投影是视图的基础，投影分为平行投影和中心投影。

立体几何中研究的图形都是平行投影下的图形。

中心投影在日常生活中虽然非常普遍，但不是高中“立体几何”研究的主要内容。

有了投影，才有视图。

除了“平行投影、中心投影、三视图”的内容外，其他内容是“直线、平面、简单几何体”的真子集。

2、高中数学新课程中“立体几何”部分的教学内容

结合《标准》的学习和教科书的编写，概括一下，高中数学新课程中“立体几何”部分的数学内容：

（1）空间几何体

棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球。

柱体、锥体、台体、球体的简单组合体。

简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，斜二侧画法，简单空间图形的直观图。

平行投影下的空间图形，中心投影下的空间图形。

球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积。

（2）点、直线、平面之间的位置关系

平面及其基本性质。

平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角。

直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面的投影,直线和平面所成的角。

平面与平面平行的判定与性质。

二面角及其平面角。

两个平面垂直的判定与性质。

（3）空间向量与立体几何

空间向量及其加法、减法与数乘运算。

空间向量基本定理，空间向量的正交分解。

空间向量的坐标表示，空间向量的加法、减法与数乘运算的坐标表示。

空间向量的数量积，空间向量数量积的坐标表示。

三垂线定理及其逆定理。

直线的方向向量，平面的法向量。

3、关于夹角与距离

《标准》在“空间向量与立体几何”中明确提出：

“能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

”因此，异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角等内容在“点、直线、平面之间的位置关系”必须介绍，穿插在相关内容之中，尽管在“点、直线、平面之间的位置关系”中没有提到。

距离是“立体几何”中的另一种度量。

点到直线的距离、点到平面的距离、平行直线之间的距离、异面直线之间的距离、直线与平面之间的距离、平面与平面之间的距离的本质是两点之间的距离，而两点之间的距离是以这两点为起点和终点的向量的模或长度。

这样，空间中的距离问题就转化为向量的模或长度问题。

4、关于“三垂线定理及其逆定理”

很多老师都说，整个高中立体几何就是“三垂线定理”。

尽管说得过分些，但从另外一个角度说明，“三垂线定理”在整个高中“立体几何”中的地位和作用。

确实，“三垂线定理”是整个立体几何内容的一个典型代表，处在整个立体几何知识的枢纽位置，综合了很多知识内容：

直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行。

《标准》在“点、直线、平面之间的位置关系”中虽然没有明确提到“三垂线定理”，但在“空间向量与立体几何”中提到“能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）”。

按照这种提法，教材中必须明确提出“三垂线定理”，学生应该知道这个定理。

至于放在《数学2》中，还是放在《选修2-1》中，则是另外一个问题。

有了“三垂线定理”，“三垂线定理的逆定理”也就顺理成章了，无非是斜线与斜线在平面内的射影的位置互换了一下。

在教材实验过程中，老师非常关注“三垂线定理及其逆定理”的教学。

一方面是它在整个高中“立体几何”中的地位和作用；

另一方面，它也是高考的核心内容，目前的高考试卷中，如果是用综合法处理的“立体几何”方面的大题，都是关于“三垂线定理及其逆定理”的。

但是，随着空间向量及其运算引入“立体几何”内容中，用空间向量及其运算的向量方法（或坐标方法）处理有关垂直和平行问题成为一种普遍适用的方法，用“三垂线定理及其逆定理”的综合方法退居其次。

高中数学新课程中强调用空间向量及其运算处理立体几何中的角度、距离，淡化综合方法处理角度问题和距离问题。

5、关于球

目前，《标准》只要求认识球的结构特征，了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆）。

由于在系列3中的“选修3-3球面上的几何”专门讲述涉及球以及球面的几何，因此现在新课程中“立体几何”部分不涉及球面上距离等内容，对球面的表面积和体积公式也不要求推导，教学时一定不要增加这方面的内容。

二、怎样把握这部分的教学要求

由于《标准》把“内容与要求”合在一起写，对教学要求的把握相对来说，容易一些。

但在教材编写和教材实验中，也存在不少问题。

1、棱柱、棱锥、棱台这些空间几何体要求到什么程度

按照《标准》的要求，教材首先通过实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征。

结构特征是这些空间几何体的本质特征，我们需要抽象概括出这些空间几何体的概念。

以棱柱为例，抽象出它的本质特征后，要不要讲斜棱柱、直棱柱、正棱柱以及楞住的一些性质？

由于《标准》在“空间向量与立体几何”的“参考案例”例1中明确提出“直三棱柱……”，所以必须讲。

至于放到哪部分内容中，下面我们谈到体系结构时，会详细阐述。

棱锥也有类似的问题，正棱锥怎么讲？

在何处讲？

2、关于三视图与几何直观能力、空间想象能力

视图和投影是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》新增的内容，作为与初中数学课程内容的衔接，“空间几何体”包括视图和投影的内容。

要求到什么程度？

——三视图是不是要求到“长对正、宽平齐、高相等”？

——对于平行投影和中心投影下的视图与直观图，如果只是“通过观察用两种方法（平行投与中心投影）画出的视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式”，是不是要求太低了？

——如果不明确给出直棱柱、正棱柱、正棱锥等空间几何体的概念，这些空间几何体的三视图是不是能讲清楚？

因为这些空间几何体的三视图都涉及点在平面的射影、空间几何体的高等概念。

这些是老师在教学中非常关注的问题。

如果上述问题作为基本的要求，《数学2》中“立体几何初步”有限的18课时，显得太紧张了，心有余而力不足。

增加三视图的有关内容，对于进一步培养学生的空间想象能力和几何直观能力具有重要的促进作用。

过去的“立体几何”内容相对来说，这方面比较薄弱。

三视图的有关内容在一定程度上改善了这种状况。

对图形既需要直观地感觉，也需要思辨地论证。

我们要求学生能够画出空间几何体的三视图和直观图，能够从空间几何体的直观图画出它的三视图，从三视图画出它的直观图等等。

使得学生能够通过“实物模型—三视图—直观图”这样一个相互转化的过程认识空间几何体。

这些数学活动是培养学生空间想象能力的有效途径。

只有这样，立体几何的教学目标才更加全面。

3、关于推理论证的要求

从必修课程《数学2》、选修课程系列2·

选修2-1的“内容与要求”看，“立体几何”部分推理论证的要求不高，而且有关直线、平面位置关系的一些判定定理用向量方法加以证明。

而经典的“立体几何”除了培养学生的空间想象能力和几何直观能力外，非常强调推理论证能力，把推理论证能力放在最突出的位置。

由于整个义务教育阶段对几何的推理论证能力的要求有所降低，与义务教育阶段相衔接的高中数学新课程这方面的教学要求自然有所降低。

是不是《标准》对几何推理论证的要求降低了呢？

对“立体几何”部分的教学要求降低了呢？

这种看法有一定的片面性。

从《标准》和整套教材看，不难发现，在“立体几何”中对于推理论证的要求不是一步到位，而是分阶段、分层次、多角度的：

（1）对空间几何体的认识，先直观感受、操作确认，不做任何推理论证的要求。

（2）以长方体为载体（包括其他的实物模型、身边的实际例子等）对图形（模型）进行观察、实验和说理，引入合情推理。

（3）严格的推理论证，如直线、平面平行与垂直的判定定理的证明。

（4）在选修课程系列2·

选修2-1中的“空间向量与立体几何”中引入空间向量处理平行、垂直、距离和夹角等问题。

几何的现实性与论理性是几何的两个方面。

欧几里得公理体系把几何与逻辑结合起来，几何就与演绎推理结下了不解之缘，很久以来几何学就成为训练逻辑推理的素材，用主观的东西去理解客观世界，把握客观世界，以期对客观世界有更理性的认识。

从几何推理的角度来看，既有合情推理，又有演绎推理，而且从数学自身发展的过程来看，即使演绎推理也并非几何所独有，它广泛存在于数学的各个分支中。

近几十年的国际数学教育改革对几何推理的要求发生了一些变化，适当弱化演绎推理，更多地强调从具体情境或前提出发，进行合情推理；

从单纯强调几何的逻辑推理，转向更全面地体现几何的教育价值，特别是集合在发展学生空间观念，以及观察、操作、试验、探索、合情推理等“过程性”方面的教育价值。

立体几何初步特别注意使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程