配套K12优化方案高中数学 第一章 三角函数 1周期现象 2角的概念的推广 新人教A版Word文件下载.docx
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按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线从起始位置没有作任何旋转形成的角
3.
（1）象限角
在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角或象限界角．
（2）象限角的集合表示
象限角
角的集合表示
第一象限角
{α|k·
360°
<
α<
k·
＋90°
，k∈Z}
第二象限角
＋180°
第三象限角
＋270°
第四象限角
＋360°
（3）轴线角的集合表示
轴线角
终边落在x轴的非负半轴上的角
{α|α＝k·
终边落在x轴的非正半轴上的角
终边落在x轴上的角
180°
终边落在y轴的非负半轴上的角
终边落在y轴的非正半轴上的角
－90°
终边落在y轴上的角
终边落在坐标轴上的角
90°
（4）终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×
，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）钟表的秒针的运动是周期现象．（ ）
（2）某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象．（ ）
（3）钝角是第二象限的角．（ ）
（4）第二象限的角一定比第一象限的角大．（ ）
（5）终边相同的角不一定相等．（ ）
解析：
（1）正确．秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象．
（2）错误．虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象．
（3）正确．大于90°
而小于180°
的角称为钝角，它是第二象限角．
（4）错误.100°
是第二象限角，361°
是第一象限角，但100°
361°
.
（5）正确．终边相同的角可以相差360°
的整数倍．
答案：
（1）√
（2）×
（3）√ （4）×
（5）√
2．小明今年17岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是（ ）
A．26B．32
C．36D．41
选D.由十二生肖知，属相是12年循环一次，故选D.
3．已知下列各角：
①－120°
；
②－240°
③180°
④495°
，其中是第二象限角的是（ ）
A．①②B．①③
C．②③D．②④
选D.－120°
是第三象限角；
－240°
是第二象限角；
角不在任何一个象限内；
495°
＝360°
＋135°
，所以495°
是第二象限角．
4．在0°
到360°
之间与－120°
终边相同的角是________．
与－120°
终边相同的角α＝－120°
＋k·
（k∈Z）．
由0°
≤－120°
，k∈Z，得
≤k<
又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°
＝240°
240°
1．对周期现象的理解
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性，例如：
月亮圆缺变化的周期性，即朔—上弦—望—下弦—朔；
潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；
物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；
做简谐运动的物体的位移变化的周期性等．
2．对角的概念的两点说明
（1）角是用运动的观点来定义的，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆．
（2）在描述角度（角的大小）时一定要抓住三点：
①要明确旋转方向；
②要明确旋转的大小；
③要明确射线未作任何旋转时的位置．
3．角的分类
（1）按旋转方向划分时，先确定角的旋转方向，再确定旋转的绝对量．如射线OA绕端点O逆时针旋转290°
到OB的位置，则∠AOB＝290°
（2）今后在学习角时，我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论．当角的终边落在坐标轴上时，这个角可以称为象限界角或轴线角．
4．任意角概念的四个关注点
周期现象的判断
判断下列现象是否是周期现象．
（1）地球自转；
（2）某地每年一月份的降雨量；
（3）世界杯足球赛的举办时间．
（链接教材P4例1，例2，例3）
[解]
（1）是周期现象．因为地球每24小时自转一周，所以地球自转是周期现象．
（2）不是周期现象．某地每年一月份的降雨量是随机的，不是周期性重复出现的．
（3）是周期现象．世界杯足球赛每隔四年举办一届，是周期性重复出现的．
方法归纳
判断某现象是否为周期现象的依据是周期现象的特征，即每次都以相同的间隔（比如时间间隔或长度间隔）出现，且现象是无差别的重复出现．
1．
（1）试判断下列现象中是否是周期现象．
①一年二十四节气的变化；
②候鸟迁徙；
③“随机数表”中数的排列．
（2）我们的心跳都是有节奏的、有规律的，心脏跳动时，血压在增大或减小．下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系，通过表中数据来研究血压变化的规律.
t/s
5
10
15
20
25
30
p/mmHg
93.35
136.65
115
35
40
45
50
55
60
①根据上表数据在坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图；
②说明血压变化的规律．
解：
（1）①一年二十四节气是重复出现的，是周期现象．
②候鸟迁徙是周期现象．
③随机数表中的数0，1，2，…，9是随机出现的，不是周期现象．
（2）①散点图如图．
②从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T（15s），血压就重复出现相同的数值，因此，血压是呈周期性变化的．
象限角的判断
（1）给出下列四个结论：
①－15°
是第四象限角；
②185°
③475°
④－350°
是第一象限角．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
（2）若α是第一象限角，则－α是第________象限角．
（3）已知α＝－1910°
，把α写成β＋k·
（k∈Z，0°
≤β<
）的形式，并指出它是第几象限的角．
（链接教材P7例1）
[解]
（1）选D.①－15°
②180°
185°
270°
＋115°
，而90°
115°
，所以475°
＝－360°
＋10°
是第一象限角，所以四个结论都是正确的．
（2）因为α与－α的终边关于x轴对称如图所示．
所以－α的终边在第四象限．故填四．
（3）法一：
作除法运算，注意余数必须非负，
得：
－1910÷
360＝－6……250，
所以α＝250°
－6×
，它是第三象限的角．
法二：
设α＝β＋k·
（k∈Z），
则β＝－1910°
－k·
令0°
≤－1910°
，
解得－6
k≤－
＝－5
，k∈Z.
所以k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°
于是α＝250°
在本例（3）中，写出与β的终边互为反向延长线的角γ，并指出它是第几象限的角．
当β＝250°
时，γ＝250°
＝70°
＋（k＋1）·
＋k′·
（其中k′＝k＋1，k∈Z）．即γ＝70°
＋n·
，n∈Z，γ是第一象限的角．
判断α是第几象限角的三个步骤
第一步，将α写成α＝k·
＋β（k∈Z，0°
）的形式．
第二步，判断β的终边所在的象限．
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
2．若角α满足α＝45°
，k∈Z，则角α的终边落在（ ）
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
选A.当k＝0时，α＝45°
，此时α为第一象限角；
当k＝1时，α＝225°
，此时α是第三象限角，故选A.
终边落在过原点的直线上的角
写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°
β<
720°
的元素β写出来．
（链接教材P7例2，P8例3）
[解] 如图，直线y＝x过原点，它向上的方向与x轴正方向的夹角为45°
，在0°
～360°
范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：
45°
，225°
.因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°
，k∈Z}∪{β|β＝225°
＝{β|β＝45°
＋2k·
，k∈Z}∪{β|β＝45°
＋（2k＋1）·
，n∈Z}．
由于－360°
即－360°
，n∈Z，
解得－
n<
，n∈Z.
所以n＝－2，－1，0，1，2，3.
所以S中适合不等式－360°
的元素是
－2×
＝－315°
－1×
＝－135°
＋0×
＝45°
＋1×
＝225°
＋2×
＝405°
＋3×
＝585°
（1）写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合，方法步骤是：
①在直角坐标系中画出该直线；
②在0°
范围内找出满足条件的角；
③写出满足条件的角的集合，并注意化简．
（2）要写出所得集合中在某个范围内的元素时，先解不等式，确定出n的取值，再逐一代入计算．
3．已知角β的终边在直线y＝－
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