数值分析第五章学习小结.docx
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第五章学习小结
姓名：
张亚杰班级：
机械1505班学号：
S20150232
一、本章学习体会
本章的内容与实际关联很大，可以解决很多工程实际问题。
1、主要有两方面内容：
插值与逼近。
插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。
逼近即是用简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最小最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。
2、插值中样条插值比较难，需要花一定的时间。
逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最小。
3、我个人觉得本章的难点是样条插值与最佳平方逼近。
二、知识构图：
因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：
插值、正交多项式和逼近。
1、插值：
插值的基本概念：
插值函数，被插函数，插值节点，插值点，节点等。
插值条件：
插值多项式存在唯一性。
误差：
Lagrang插值：
插值基函数：
（具体公式见课本）。
插值多项式：
注意大范围内不宜采用高次插值，节点的选取遵循居中原则，根据插值点选择节点。
代数插值
一元代数插值
Newton插值：
主要解决的是lagrange插值无继承性的缺点。
差商的定义及性质了解插值的基函数。
注意lagrange插值多项式与newton多项式为同一多项式，任意改变节点的次序n次多项式不变。
分段二次插值：
所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连接起来逼近f（x）。
通过缩小插值区间达到减小误差的目的进而解决高次插值的rung现象。
注意分段插值收敛性虽好，但是不光滑，在个别点导数不存在。
插值
1、插值函数通过节点。
2、与被插函数在节点具有相同的导数值。
插值多项式具有唯一性，求解的两种方法：
1、基函数法2、待定系数法。
误差：
Hermite插值
分段Hermite插值
为了得到光滑度更高的插值函数因此引入样条函数。
理解样条函数样条函数空间的定义，K次样条函数的表示公式。
样条插值
三次样条插值：
定义，边界条件（自然样条，压紧样条，周期性条件），解存在且唯一。
构造样条函数的方法：
待定系数法，三弯矩法（任意划分）B样条法（等间距划分），重点掌握三弯矩法。
2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下方式：
一、正交多项式
1、正交多项式的概念与性质
若在区间上非负的函数满足
（1）对一切整数存在；
（2）对区间上非负连续函数，若
则在上，那么，就称为区间上的权函数。
常见的权函数有
2、两个函数的内积
定义：
给定是上的权函数，称
为函数与在[a,b]上的内积。
内积的性质：
（1）对称性：
；
（2）数乘性：
；
（3）可加性：
；
（4）非负性：
若在[a,b]上，则。
3、函数的正交
（1）两个函数的正交与正交函数系
若内积
则称与在区间[a,b]上带权正交若函数系.
满足
则称是上带权的正交函数系。
特别的，如果是最高次项系数不为零的次多项式，则称
正交函数系一定线性无关。
4、几种常用的正交多项式
（1）legendre多项式
Legendre多项式的性质
Legendre多项式系{}是区间[-1，1]上带权的正交多项式系。
的最高次项系数为
n为奇数时为奇函数，
n为偶数时为偶函数。
递推关系
当时
（2）chebyshev多项式
设n为非负整数，称为chebyshev多项式。
chebyshev多项式的性质：
是x的n次多项式，并且当时，的最高次项系数为
Chebyshev多项式系是区间[-1，1]上带权的正交多项式系。
（3）Laguerre多项式
称为Laguerre多项式
Laguerre多项式的性质：
（1）是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为
（2）Laguerre多项式系{}是在区间上带权的正交多项式系。
（4）Hermite多项式
称为Hermite多项式。
Hermite多项式的性质:
是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为
Hermite多项式系{}是在区间上带权的正交多项式系。
二、函数的最佳平方逼近
1、最佳平方逼近的概念
设为某一函数类
定义：
设，若存在使,则称为f（x）在函数类中的最佳平方逼近函数。
的表示：
设，
，
2、最佳平方逼近的条件
设，，是子空间中，对于的最佳平方逼近元素的充分必要条件是：
3、最佳平方逼近元素是唯一的
4、最佳平方逼近元素的求法
，求系数，利用条件：
法方程（正规方程）：
设为[a,b]上带权正交函数系,则
5、最佳平方逼近误差
，均方误差：
，
三、正交函数系在最佳平方逼近中的应用
设，为[a,b]上带权正交函数系,则
1、Legendre多项式的应用
（1）设求f（x）在[-1,1]上的n次最佳平方逼近多项式
，，
，
（2）
做变换
2、Chebyshev多项式的应用
，
误差估计
设在区间[-1，1]上存在且有界，那么由式
和系数公式
。
所确定的多项式,当时，在
[-1，1]上一致收敛于函数f（x）。
Chebyshev级数
3、三角函数系的应用
三角函数系，在上为正交函数
，
设f（x）是以为周期的函数,定义内积，
在空间，中寻求对于f（x）的最佳平方逼近元素
当且以为周期时
四、曲线拟合
曲线拟合的概念：
已知数据点：
，寻找一个函数，使其在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的好。
常用的四个准则：
（1）最大误差
（2）平均误差
（3）均方根误差
（4）误差平方和
用四种方法可以分别得到在四种准则下的四条最佳拟合曲线，使其误差平方和最小的方法称为最小二乘准则。
1、曲线拟合
（1）曲线（数据）拟合的最小二乘法:
给定一组数据，在某一函数类D中找函数，使：
称为上述数据的最小二乘拟合曲线.
（2）拟合曲线的求法
取找
使
即求多元函数的极小值：
2.，
，
法方程：
令：
法方程变为：
（1）曲线（数据）拟合的最小二乘法:
（2）拟合曲线的求法
，
（3）误差平方和
（4）基函数的选取（以多项式作为拟合函数类）
（a）选择幂函数作为基函数.
（b）构造在点集上的正交多项式系
（c）取Chebyshev多项式作为基函数
（d）取三角函数为基函数
三、思考题
1、为什么高次多项式插值不能令人满意？
分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？
答：
因为对任意的插值节点，当时，插值多项式不一定收敛于。
由于高次插值存在龙格现象，它没有实用价值，而分段低次插值，特别是三次样条插值，具有良好的收敛性与稳定性，又有二阶光滑度，理论上和应用上都有重要的意义。
2、用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？
答：
切比雪夫多项式在区间上有个零点，恰好是单位圆周上的等距分布点的横坐标，这些点的横坐标在接近区间的端点处是密集的。
利用切比雪夫点做插值，可使插值区间最大误差最小化。
由于高次插值出现龙格现象，拉格朗日插值一般不收敛，因此不适用，若用切比雪夫多项式零点插值即可避免龙格现象，保证整个区间收敛。
四、测验题
根据北航课后习题第八题改编。
给定数表
1
1.5
2
2.5
3
21
23
22
21
20
解：
差商表如下：
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
1
21
1.5
23
4
2
22
-2
-6
2.5
23
2
4
3
20
-6
-8
-24
故四次Newton插值多项式为：
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