基于LQR的二阶直线倒立摆控制系统设计.docx
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学号：
常 州 大 学
毕业设计（论文）
（2012届）
题 目
学 生
学 院 专业班级
校内指导教师 专业技术职务
校外指导老师 专业技术职务
二○一二年六月
基于LQR的二阶直线倒立摆控制系统设计
摘 要：
倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新的控制理论和方法有效性的典型理想模型。
在对其控制过程中，能有效地反映诸如镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多关键问题。
本文以固高科技生产的直线二级倒立摆为研究对象，推导建立了该倒立摆系统的数学模型，并对其系统性能进行了分析。
然后采用了PID控制方法和LQR（linearquadraticregulator）控制方法，对其系统进行了稳定性控制。
仿真结果表明LQR比PID控制器的效果更好。
并依据Q、R矩阵的物理意义以及多次试验的结果，给出了一组较好的Q、R参数矩阵。
关键词：
二级倒立摆；LQR控制；PID控制
Second-orderLinearInvertedPendulumControlSystemBasedonLQRAbstract:
Theinvertedpendulumsystemisatypicaladvancedunstablesystem,whichismulti-variable,nonlinearandstrong-couplingwitharapidmovement.Itisanidealmodel totestalltheoriesaboutcontrollingandthevalidityofthemethod.Inthecontrollingprocess,itcaneffectivelyreflectmanykeyissues,suchasstabilization,robust,follow-upandtrack,etc..Thethesistriestoderiveandestablishthemathematicalmodelofthisinvertedpendulumsystemandanalyzeitspropertiesindetail,regardingthehigh-techdoublelinearinvertedpendulumastheresearchtarget.ThesystemiscontrolledwithstabilitybasedonthecontrollingmethodsofPIDandLQR（linearquadraticregulator）.TheresultsshowthatLQRhasabettereffectthanPIDcontroller.AccordingtoQ,Rmatrixphysicalmeaningandmanyexperiments,agroupofgoodQ,Rparametermatrixwillbegiven.
Keywords：
Second-orderinvertedpendulum；LQRcontrol；PIDcontrol
目录
摘要 I
Abstract II
目录 III
1绪论 1
1.1引言 1
1.2倒立摆设备简介 1
1.3倒立摆的发展历史及现状 5
1.4论文研究的主要内容 7
2倒立摆数学模型的建立 8
2.1引言 8
2.2倒立摆的结构和工作原理 8
2.3倒立摆数学模型的建立 9
2.4二阶倒立摆系统性能分析 16
3线性二次型最优控制算法 18
3.1线性二次型最优控制原理 18
3.2加权矩阵Q、R的选择 19
4二阶倒立摆LQR控制设计 21
4.1二阶倒立摆控制系统原理 21
4.2二阶倒立摆控制系统组成 21
5二阶倒立摆控制系统的仿真 23
5.1PID控制 23
5.2LQR控制 25
5.3仿真调试时出现问题的解决 34
6总结与展望 35
6.1总结 35
6.2展望 35
致谢 36
参考文献 37
1绪论
1.1引言
随着现代科学技术的快速发展，控制工程所面临的问题越来越复杂。
许多系统具有严重非线性、模型不确定、大滞后等特点。
倒立摆就是这样的一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。
在倒立摆的控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，同时也是检验各种控制理论的理想模型。
所以对它的研究具有一般性。
倒立摆源于火箭发射器，最初的研究开始于二十世纪五十年代，由美国麻省理工学院的控制理论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
倒立摆的控制技巧同杂技运动员倒立平衡表演有异曲同工之处，这表明一个不稳定的被控对象，通过人的直觉、采取定性的手段，可以使之具有良好的稳定性。
这样使得倒立摆系统可以应用于许多场合，比如双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机行控制等。
基于现实的应用性，对倒立摆系统的研究具有很强的理论意义和工程意义。
通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：
力学、数学和电学有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。
对倒立摆系统进行控制，其稳定效果非常明了，可以通过角度、位移和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。
理论是工程的先导，对倒立摆的研究不仅有其深远的理论意义，还有重要的工程背景。
从日常生活中所见到的任何重心在上，支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多用途，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机的安全着陆以及化工过程控制等都属于这类问题。
针对上面的实际问题，启发了人们采用智能控制方法对倒立摆进行控制。
因此对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题[1]。
一级倒立源于火箭发射的助推器，二级倒立摆则与机器人的控制有关，而三级倒立摆在多级火箭飞行姿态的控制、导弹拦截控制系统和航空器对接控制技术上有广阔的开发利用前景。
到目前为止，对一级和二级倒立摆系统控制的研究已比较成熟，用各种不同的方法实现了对一级、二级倒立摆的系统仿真和实物控制，取得了非常满意的效果。
1.2倒立摆设备简介
1.2.1典型的倒立摆设备
倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设计出单级倒立摆系统这个实验设备。
后来在此基础上，人们又进行拓展，产生了直线二级倒立摆、环型倒立摆、平面倒立摆、柔性连接倒立摆、多级倒立摆等实验设备。
下面对这些设备具体介绍：
①直线倒立摆系统
或称为“小车-倒立摆系统”，是由可以沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车之上的匀质长杆组成的系统。
小车可以通过传动装置由力矩电机、步进电机、直流电机或者交流伺服电机驱动。
小车导轨一般有固定的行程，因此小车的运动范围是受到限制的。
②环型倒立摆系统
可以将它看成是将小车的直线导轨弯曲而成的系统。
一般是由水平放置的连杆以及一端固定在连杆末端的匀质长杆组成。
连杆是通过传动机构由电机驱动沿中心的轴线转动。
这种形式摆脱了摆杆运动行程受到限制这一不利的因素，但是摆杆的圆周运动带来了另外的一种不利的非线形因素，离心力作用。
③平面倒立摆系统
匀质摆杆的底端可以在平面内自由运动，并且摆杆可以沿平面内的任一轴线转动。
这样系统可运动的维数增加了，从而系统的复杂性和控制器设计的难度也相应的增加。
根据倒立摆摆杆底端运动平台装置不同，驱动的数目可能各不相同，但是至少需要两个电机驱动。
一般可以采用X-Y平台、二自由度并联机构或者二自由度SCARA（SelectivelyComplianceArticulatedRobotArm）机械臂作为平面倒立摆系统的运动平台。
④柔性连接倒立摆系统
在原倒立摆系统的基础之上引入了新的自由振荡环节：
自由弹簧系统。
由于闭环系统的响应频率受到弹簧系统振荡频率的限制，增加了对控制器设计的限制。
通过对系统动态特性的分析，弹簧弹性系数越小，对电机驱动的响应频率要求越快，系统越是趋于临界阻尼的状态。
⑤Acrobot[2]、Penduot[[3]等其它形式的倒立摆系统
主要是机械结构不同，其被控对象的本质为非线性欠冗余机电系统没有发生变化，因而对系统的研究手段和研究方法是一样的。
对于多级倒立摆系统，有两种基本的形式：
串联倒立摆系统和并联倒立摆系统。
所谓串联倒立摆系统是指对各摆杆“头尾”相接，呈串联形式连接。
而并联倒立摆系统是指多个摆杆底端都连接在“小车”上，呈并联形式连接。
串联倒立摆系统中各摆杆任何一个的角度、角速度、角加速度变化都会对另外的摆杆角度、角速度、角加速度产生影响；而并联倒立摆系统每个摆杆的状态变化不受其他摆杆状态变化的影响，只与水平连杆的角速度及角加速度有关。
几种不同类型的倒立摆系统实物如图1.1所示：
图1.1各种倒立摆系统
1.2.2固高科技二级倒立摆简介
图1.2固高科技倒立摆实物图
●基座
●直流伺服电动机
●同步带
●带轮
●滑竿
●摆杆
●角编码器
●限位开关
图1.3倒立摆本体
直流伺服驱动器
I/O接口板开关电源
开关、指示灯等电器元件
●
●
●
●
图1.4电气控制箱
控制平台
倒立摆本体
电控箱
PCI总线
图1.5倒立摆系统组成框图
直线倒立摆本体：
直线倒立摆本体由基座、交流伺服电机、同步带、带轮、滑竿、
滑套、滑台、摆杆、角编码器、限位开关等组成。
小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。
电机编码器和角编码器向运动控制卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。
电气控制箱：
电控箱内安装有如下主要部件：
交流伺服驱动器、I/O接口板、开关电源、开关和指示灯等电气元件。
控制平台：
控制平台主要由以下部分组成：
与IBM PC/AT机兼容的PC机、GM400运动控制卡、GM400运动控制卡用户接口软件、演示实验软件。
1.3倒立摆的研究历史及现状
早在20世纪六十年代，人们就开始可对倒立摆系统的研究。
1966年Schacfer和
Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。
到了20世纪60年代后期，倒立摆作为一个典型不稳定、非线性的例证被提出。
自此，对于倒立摆系统的研究成
了控制界关注的焦点。
并且产生了越来越多种类的倒立摆系统。
关于倒立摆的分类在介绍倒立摆系统分类时已经有了详细介绍。
目前有关倒立摆的研究主要集中在亚洲，如中国的北京师范大学、北京航空航天大学、中国科技大学；日本的东京工业大学、东京电机大学、东京大学；韩国的釜山大学、忠南大学。
此外，俄罗斯的圣彼得堡大学、美国的东弗罗里达大学、俄罗斯科学院、意大利的福罗伦萨大学对这个领域也有持续的研究。
近年来，虽然各种新型倒立摆不断问世，但是可以自主研发并生产倒立摆装置的厂家并不多。
目前，国内各高校基本上都采用香港固高科技和加
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