概率论与数理统计习题集及答案.docx
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概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章概率论的基本概念
§1.1随机试验及随机事件
1.
(1)一枚硬币连丢3次,观察正面H、反面T
出现的情形.样本空间是:
S=;
(2)一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数样本空间是:
S=;
2.
(1)丢一颗骰子.A:
出现奇数点,则
A;B:
数点大于2,贝UB=
(2)一枚硬币连丢2次,A:
第一次出现正
面,贝ya=;
B:
两次出现同一面,贝I」=;C:
至少有一次出现正面,则C=.
§1.2随机事件的运算
1.设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件:
(1)A、B、C都不发生表示为:
.
(2)A
与B都发生,而C不发生表示为:
」
(3)A与B都不发生,而C发生表示
为:
J4)A、B、C中最多二个发生表示
为:
.
(5)A、B、C中至少二个发生表示
为:
.(6)A、B、C中不多于一个发生表
示为:
.
2.设s珂x:
0^x"},A={x:
1cx^3},B={x:
2^<4}:
贝卩
(1)A亠,
(2)
AB=,(3)AB=,
(4)A一B=,(5)
AB=。
§1.3概率的定义和性质
1.已知P(AB)=0.8,P(A)=0.5,P(B)=0.6,贝
(1)P(AB)=,
(2)(P(AB))=,
(3)P(A_.B)=.
2.已知P(A)=0.7,P(AB)=0.3,贝V
P(AB)=.
§1.4古典概型
1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:
(1)正好有2个女同学的概率,
(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率•
2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1.5条件概率与乘法公式
1•丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为
7,则其中一颗为1的概率是。
2.已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,贝
P(AB)=。
§1.6全概率公式
1.有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽“中‘的概率相同。
2.第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率。
§17贝叶斯公式
1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求
(1)该厂产品能出厂的概率,
(2)任取一出厂产品,求未经调试的概率。
2.将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,
B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息
B传递的频繁程度为3:
2,若接收站收到
的信息是A,冋原发信息是A的概率是多少?
§1.8随机事件的独立性
1.电路如图,其中A,B,C,D为开关。
设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。
A_B
L
R
CD
3.甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立,求下列概率:
(1)恰好命中一次,
(2)至少命中一次。
第1章作业答案
§1.11:
(1)S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};
(2)S二{0,1,2,3}
2:
(1)A二{1,3,5}B二{3,4,5,6};
(2)A={正正,正反},B={正正,反反},C珂正正,正反,反正}。
§121:
(1)ABC;
(2)ABC;(3)ABC;
(4)A一B_C;(5)ABuACuBC;
(6)AB_BC或
ABCABCABCABC;
2:
(1)AB二{x:
1:
:
x:
:
4};
(2)AB={x:
2exe3};
(3)AB={x:
3:
:
x:
:
4};
(4)A_.B={x:
0^xz1或2空x空5};(5)
AB二{x:
1:
x:
:
4}。
§1
.3
1:
(1)p
(AB)=0.3,
(2)P(AB):
=0.2,(3)
P(AB):
=0.7.
2:
P(AB))=0.4.
§
1
.4
1
(1)
C
恣/c;0
(2)(
(c;0+c;c;2+c:
c;2)/c
30,(3)1-(
C;0
c8c2
)/c;0.
2:
P43/43.
§1
.5
1:
.
2/6;
2:
1/4。
§1.61:
设A表示第一人“中”则P(A)=2/10
设B表示第二人“中”,则P(B)=
P(A)P(B|A)+P(a)P(B|a)
21822
109105=10
两人抽“中‘的概率相同,与先后次序
无关。
2:
随机地取一盒,则每一盒取到的概
率都是0.5,所求概率为:
§1.71:
§1.8.1:
p=0.5X0.4+0.5X0.5=0.45
(1)94%
(2)70/94;2:
0.993;
用A,B,C,D表示开关闭合,于是T
=ABUCD,
从而,由概率的性质及A,B,C,D的相
互独立性
P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)
P(A)P(B)+P(C)P(D)-
P(A)P(B)P(C)P(D)
=2p2
2:
(1)
0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.
4)(1-0.5)0.6=0.38;
(2)
1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
第2章随机变量及其分布
§2.1随机变量的概念,离散型随机变量
1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球中的最大号码.,试写出X的分布律.
2某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,—次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击的次数,试写出X的分布律。
§2.20-1分布和泊松分布
1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次
数X是服从入=4的泊松分布,求
⑴每分钟恰有1次呼叫的概率;
(2)每分钟只少有1次呼叫的概率;
(3)每分钟最多有1次呼叫的概率;
2设随机变量X有分布律:
乂一2—3_
丫〜n(X),试求:
p0.40.6
(1)P(X=2,Y<2);
(2)P(Y<2);(3)已知Y
<2,求X=2的概率。
§2.3贝努里分布
1一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机
是否被使用相互独立,问在同一时刻
(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少?
(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少?
(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少?
(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少?
2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
§2.4随机变量的分布函数
1设随机变量X的分布函数是:
0xv-1
F(x)=」0.5-1WXC1
1X兰1
(1)求P(X<0);P0*1;P(X>1),
(2)写出X的分布律。
2设随机变量X的分布函数是:
F(x)=
Ax
求
(1)常数A,
(2)Pi*2.
§2.5连续型随机变量
1设连续型随机变量X的密度函数为:
(1)求常数k的值;
(2)求X的分布函数
F(x),画出F(x)的图形,
(3)用二种方法计算P(-0.5vXv0.5).
2设连续型随机变量xo的分布函数为:
F(x)=
0x:
:
1
dnx1Exce
(1x色e
(1)求X的密度函数f(x),画出f(x)的图形,⑵并用二种方法计算P(X>0.5).
§2.6均匀分布和指数分布
1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,
求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率。
2假设打一次电话所用时间(单位:
分)X服从:
=0.2的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待:
(1)超过10分钟的概率;
(2)10分钟到20分钟的概率。
P(-42),P(X>3);
(2)确定c,使得P(X>c)=P(Xvc)
2某产品的质量指标X服从正态分布,卩=160,若要求P(120VX<200)>0.80,试问"最多取多大?
§2.8随机变量函数的分布
1设随机变量x的分布律为:
X01
2
p0.3
0.40.3
Y=2X-1,求随机变量x的分布律。
Y=x2;求随机变量Y的密度函数
3.设随机变量x服从(0,1)上的均匀分布,
丫八2lnX,求随机变量Y的密度函数。
第2章作业答案
§2.11:
X345
p0.10.30.6
2:
X12345
p0.40.6冷.40.66.6E.40.6冷.68.6E.40.6冷.68.6冷.6床
§2.21:
(1)P(X=1)=P(X>1)-P(X>2)=0.981684-0.908422=0.073262,
(2)P(X>1)=0.981684,
(3)P(X<1)=1-P(X>2)=1-0.908422=0.091578
2:
(1)由乘法公式:
P(X=2,Y<2)=P(X=2)P(Y<2|
X=2)=0.4丫22/2/)=2/
(2)由全概率公式:
P(Y<2)=P(X=2)
P(Y<2|X=2)+P(X=3)P(Y<2|X=3)
0.45
0.6裁=0.27067+0.25391=0.52458
(3)由贝叶斯公式:
P(X=2|Y<
§2.31:
设X表示在同一时刻被使用的台数,贝V
X〜B(5,0.6),
(1)P(X=2)=c;0.620.43
(2)P(X>3)=
C;0.630.42C;0.640.40.65
(3)P(X<3)=1-c;0.640.40.65(4)P(X
A1)=1-0.45
2:
至少必须进行11次独立射击.
§2.41:
(1)P(X<0)=0.5;P0X£1=0.5;P(XA1)=0.5,
(2)X的分布律为:
X-11
0.5
0.5
2:
⑴A=1,
(2)P1:
X^2=1/6
0.5
0.50
a5f(x)dx「』0dx02xdx
F(0,5)
3/5
§2.71:
(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5;(