吸收光谱的结构特征.docx
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吸收光谱的结构特征
3.3联合态密度和临界点
上面我们从微观跃迁过程出发给出了理想晶体由直接跃迁（或竖直跃迁）决定的吸收光谱的一般表达式。
材料吸收光谱的具体形式显然依赖于材料具体的能带结构。
但是，不同材料的光谱存在一个共有的特点：
实验发现晶体吸收光谱中常会出现一些明显的
结构，或拐点，（如图3.3-1给出的例子）
这些结构产生的物理原因和拐点附近吸收光谱的行为？
图3.3-1带间直接跃迁决定的吸收光谱示意图
3.3.1联合态密度和临界点
（jointorcombineddensityofstates
andcriticalpoint）
考查计算
或
2的公式：
2
nc0
e2
2dk
2
EckEvk
2
2
v,cBZ2
3ck
pvk
0
me
2
积分的被积函数中的矩阵元ck
pvk除了在一些特
殊的k值（由于对称性）变为零，一般来说是k的平滑函
数。
即或2中一些拐点，不会是由于矩阵元对k
的依赖关系。
在这些拐点附近（很小），这矩阵元可近似地看
作常数，移出积分号。
这一近似的含义是，在这小的能量范
围里，满足能量守恒的每个跃迁元过程都有相同的几率，因
而总的跃迁速率与可能的跃迁数目成比例。
式中的积分变
为：
Jcv
2dk
EckEvk
，
（3.3-1）
3
B,Z
2
----给定光场下，波矢和自旋相同，能量间隔为，
分属两个带的状态对（在这里，一个在价带，一个在导带）
的数密度，称之为联合态密度。
下面的讨论将显示晶体吸收光谱中出现的拐点正是与这联合态密度相联系的。
为明显看出这一点，我们把k空间的积分Jcv作一改写。
k空间的体积元可表示为
dk
dsE
c
E
E
k
ds
k
，
（3.3-2）
v
其中dsEcEv
E
为曲面Ec
k
Ev
k
E上的面元矢量，ds为
面元大小，k
为波矢增量，它在面元法线方向的投影为
k。
利用df
k
f
k
f
k
，也即
k
df
f。
Jcv就可表示成：
2
dsk
EckEvkE
JcvE
3
2
B.Z
2
3
ds
df
Eck
Ev
k
E
（3.3-3）
2
Ec
k
Ev
k
B.Z
上式中f（k）
Ec
k
Ev
k
E，对df积分后变为
Jcv
E
2
ds
2
3
Eck
Evk
（3.3-4）
EcEvE
B.Z
（对比态密度NE：
k空间中，等能面E（k）
E与EdE
之间的状态数/dE，它等于这两个k空间等能面所夹的壳层体积与
g（k）之积/dE：
ds
2
NEdEgk
dE
kE（k）
2
E（k）E
ds
3
dE）
kE（k）
E（k）E
由JcvE的这一表达式可见，
积分被积函数可能在某些特定的k值，EckEvk0，
被积函数发散，出现奇点。
称之为临界点（criticalpoint）。
该点对应的带间能量差EckEvkE0称为临界点能量。
在这一能量值，联合态密度JcvE呈现一个拐点。
由对称性→可能有多个同类临界点
下面限于讨论单个临界点的情形
由于临界能附近JcvE的异常变化是由k空间临界点附近的
一个小范围内状态对数目随
E的变化决定的，这范围以外的区域对JcvE积分的
贡献是常数，我们可以限于讨论临界点附近区域的贡献。
将Eck
Ev
k在临界点附近展开，取到二次项（由临界点条
件，一次项显然为零）：
2
2
2
k
2
kx
ky
Ec
k
Evk
E0
x
y
z
z
（3.3-5）
2
mx
my
mz
其中E0
为临界点处的Eck
Evk值（临界点能量），
kx,ky,kz都是沿主轴相
对临界点的值，展开式系数的大小由mx,my,mz的倒数表示，系数的符号则由
x,y,z来表示，即它们可能的取值为1。
按x,y,z的正或负，临界点可分为四类：
极小值点M0：
对于它，xyz1，
EckEvk在此奇点取极小值；
鞍点（saddlepoint）M1：
对于它，两个i
鞍点（saddlepoint）M2：
对于它，一个i
取正，一个取负；
取正，两个取负；
极大值点M3：
xyz1，EckEvk在奇点取极大值。
联合态密度在这几种临界点相应的临界点能量附近
的行为?
讨论中会利用
函数的性质：
b
g
xi
g
xf
x
dx
，
（3.3-6）
a
idf
x
dx
xi
其中xi
是方程f
x
0在区间
a,b中的第i
个根。
以下为方便起见，引进新坐标
qj
2mj
1
2
kj，其中j
x,y,z。
于是：
2
k2
ky
2
k
2
EckEvkE0
x
z
2
xm
y
m
zm
x
y
z
E
x
q
2
y
q
2
z
q
2
0
x
y
z
进而，（3.3-1）式
Jcv
2dk
Ec
k
Ev
k
改写为
B,Z
2
3
232
mxmymz
12
JcvE
dqE0
xqx2
yqy2
zqz2
E
23
3
2
（3.3-7）
先讨论M0点，对这一情形，采用球坐标较方便，这时：
2
232
mxmymz
12
JcvE
2
2
E
3
3
4qdqE0q
（3.3-8）
2
上式中的积分可利用前面提到的函数的性质（3.3-6）来计算。
b
g
xi
g
x
f
x
dx
i
df
x
dx
a
xi
方程
f（x）
E0
q2
E
0
仅当E
E0
时，有一正实数根
q0
E
E0
12
，而且dfdq
dE0
q2
E
dq
2q，
由此我们得到：
2
12
q
232mxmymz
2
Jcv
E
3
3
4
0
2
2q0
2
72
mxmymz
12
（3.3-9）
E
E0
12
AE
12
h3
E0
而在E
E
时，方程
E0
q2
E
0无根，这时J
cv
E0
。
0
对鞍点M1
，用柱坐标较方便。
在
qx,qy平面的极坐标为
q,
。
232
12
JcvE
2
mxmymz
dqE0qx2
qy2
qz2
E
3
3
2
232
12
2
mxmymz
2qdqdqz
q
2
qz
2
E0E
2
3
3
（3.3-10）
先对qz积分，得
2
232mxmymz
12
1
Jcv
E
2qdq
3
3
（3.3-11）
2
qz02qz0
当q2
E0
E0时，方程q2qz
2E0
E0有两个根z0
2
0
q
q
EE，
代入上式，得：
272mxmymz
12
qdq
qdq
Jcv
A
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