届河南省八市重点高中联盟高三上学期领军考试数学理试题解析.docx
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届河南省八市重点高中联盟高三上学期领军考试数学理试题解析
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2020届河南省八市重点高中联盟高三上学期“领军考试”数学（理）试题
学校：
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
注意事项：
注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．设集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
答案：
C
可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：
解：
∵
，
，
∴
．
故选：
C．
点评：
考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
2．已知复数
的共轭复数为
，若
，则
在复平面内对应的点为（）
A．
B．
C．
D．
答案：
A
设
，代入
，整理后利用复数相等的条件列式求得
的值，则答案可求．
解：
解：
设
，
由
，得
即
，
则
，解得
.
∴
在复平面内对应的点为
，
故选A
点评：
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．
3．已知命题
，使得
，则
为（）
A．
，使得
B．
，
C．
，使得
D．
，总有
答案：
D
利用特称命题的否定性质即可得到.
解：
因为命题
，使得
所以命题
：
，总有
故答案为D
点评：
本题主要考查了特称命题否定的形式，属于基础题.
4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：
将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列
，则此数列的项数为（）
A．134B．135C．136D．137
答案：
B
由题意得出
，求出
，即可得出数列的项数.
解：
因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故
.由
得
，故此数列的项数为
，故答案为B.
点评：
本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.
5．函数
的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
答案：
B
根据题意，分析函数
为偶函数，且在
上，
，用排除法分析选项即可得答案．
解：
解：
根据题意，
，有
，则函数
为偶函数，排除
、
；
又由在
上，
，则
，排除
；
故选：
．
点评：
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性的分析，属于基础题．
6．已知双曲线
的渐近线与圆
相切，则
（）
A．1B．
C．2D．3
答案：
A
求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，列出等式，即可求出
.
解：
双曲线
的渐近线方程为
将
化为一般式可得
由双曲线的渐近线
与圆
相切可得，
解得
故选A
点评：
本题主要考查了双曲线的基本性质以及直线与圆相切的性质，关键是利用点到直线的距离公式列出方程，属于基础题.
7．已知
，
，
，则（）
A．
B．
C．
D．
答案：
B
可以得出
，
，
，并可判断出
，从而得出
，
，
的大小关系．
解：
解：
，
，
，
又
，且
，
，
，
．
故选：
．
点评：
考查指数函数和对数函数的单调性，对数的运算性质，对数的换底公式，属于中档题．
8．若
，则
（）
A．
B．
C．2D．
答案：
D
直接利用二倍角得正切公式，再化简，即可求解
解：
解：
利用降幂公式化简，
得，
即
，即
，解得：
点评：
本题考查二倍角公式的正切公式，是基础题．
9．在如图所示的正方形内任取一点
，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆和以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点
恰好取自阴影部分的概率为（）
A．
B．
C．
D．
答案：
D
由阴影部分的面积等于（正方形的面积
内切圆面积）的两倍以及几何概率公式求解即可.
解：
设正方形的边长为2，可以得出阴影部分的面积等于（正方形的面积
内切圆面积）的两倍
即阴影部分的面积为
则点
恰好取自阴影部分的概率为
故选D
点评：
本题主要考查了几何概型，属于基础题.
10．将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象过点
，则
的最小值为（）
A．1B．2C．
D．
答案：
C
根据三角函数的辅助角公式进行化简，结合三角函数的平移平移关系求出函数的解析式，建立方程进行求解即可．
解：
解：
，
将
的图象向右平移
个单位长度得到
，
所得图象过点
，
，
即
，
则
，
，
得
或
，
，
因为
当
时，
的最小值为
，
故选：
．
点评：
本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式结合三角函数的平移变换关系求出函数的解析式是解决本题的关键．
11．已知
的重心
恰好在以边
为直径的圆上，若
，则
（）
A．1B．2C．3D．4
答案：
B
根据题意，可得
，再化简
即可求得
解：
设
的中点为
，则
.因为
的重心
恰好在以边
为直径的圆上，所以
且
，解得
.
点评：
抓住重心G所带来的条件，利用平面向量数量积的性质及运算将已知变形即可，属于基础题．
12．已知梯形
中，
，
，
，
，
，
，以
为折痕将△
折起，使点
到达点
的位置，且平面
平面
，则四棱锥
外接球的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
答案：
D
确定BC中点O为四棱锥
外接球的球心，根据球的表面积公式求解即可.
解：
取BC中点O,过点P作BE的垂线，垂足于F，连接PO,FO
由于
所以
即
所以球心在
的中点处，所以外接球的半径为2，其表面积为
点评：
本题主要考查了四棱锥的外接球的性质以及球的表面积公式，关键是确定球心所在位置，属于难题.
二、填空题
13．己知实数
，
满足
，则
的取値范围是__________.
答案：
作出不等式组对应的平面区域，利用
的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．
解：
解：
作出实数
，
满足
对应的平面区域如图：
由
得
，
平移直线
，由图象可知当直线
，经过点
时，
直线的截距最小，此时
最小．
由
，解得即
，
此时
，
没有最大值．
故
，
．
故答案为：
，
．
点评：
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．
14．已知
为坐标原点，
为椭圆
的右焦点，过点
且倾斜角为
的直线与椭圆
交于第一象限一点
，若△
为正三角形，则椭圆
的离心率为______.
答案：
根据题意求出点P的坐标并代入椭圆方程，化简即可求解.
解：
因为
，△
为正三角形
所以
则点P坐标为
即
，解得
故椭圆
的离心率为
点评：
本题主要考查了椭圆离心率的求法，关键是由几何关系确定点P坐标，属于中等题.
15．甲、乙、丙、丁四名同学申报3所不同的985高校的自主招生，要求每名同学只能申报一所学校，每所学校必须有同学申报，甲、乙或甲、丙均不能申报同一所学校，则不同的申报方案有______种.
答案：
24
根据题意，必定有两个人报一所学校，有4种可能：
甲丁丙丁乙丁乙丙，再排列组合，所以总共有
.
解：
解：
根据题意，必定有两个人报一所学校，有4种可能：
甲丁丙丁乙丁乙丙，将这些分别看作一个整体，再排列组合，所以总共有
.
点评：
本题重点考查排列组合，采用分类和“捆绑法”可以快速得到答案．
16．已知函数
，若存在实数
满足
，且
，则
的最大值为______.
答案：
结合图象得出
，将
代入
，构造函数
，利用导数求出
在
最大值即可.
解：
画出
的图象可得
，因为
，所以
，
所以
，令
.
则
，令
，则
，
当
时，
；
当
时，
所以当
时，
最大，且
.
故
的最大值为
点评：
本题主要利用导数求函数的最值，关键是构造函数，属于难题.
三、解答题
17．如图，
是
边
上一点，
，
，
.
（Ⅰ）求
的长；
（Ⅱ）若
，求
的面积.
答案：
（Ⅰ）4；（Ⅱ）
（Ⅰ）由已知利用正弦定理，可得
，结合已知可求DC=3BD=3.
（Ⅱ）由已知利用余弦定理，解得
，可求
，利用三角形的面积公式即可计算得解．
解：
解：
（Ⅰ）在
和
中由正弦定理得
，
，
因为
，
，
，
，
所以
.
（Ⅱ）在
由余弦定理得
，
在
中由余弦定理得
，
因为
，
，
，
，
，
所以
，
解得
，所以
.
所以
.
点评：
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
平面
，
，
，
，
为
的中点.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若
，求二面角
的大小.
答案：
（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
.
（Ⅰ）作出相关辅助线，利用中位线定理，即可求解．
（Ⅱ）建立适当的空间直角坐标系，利用向量的数量积即可求出二面角．
解：
（Ⅰ）证明：
取
的中点
，连接
.连接
，交
于点
，连接
交
于点
，连接
.因为
为
的中点，
是
的中点，所以
.又
，所以
为
的中点，所以
为
的中点，又
为
的中点，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（Ⅱ）因为
，
，由余弦定理得，
，
所以
.所以
.因为
平面
，
，
所以以
所在直线为
轴，以
所在直线为
轴，以
所在直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
即
令
，得
，所以
.
因为平面
的法向量为
，
所以
，
所以二面角
的大小为
.
点评：
本题主要考查线面平行的证明，以及二面角的求解，考查运算求解能力，是中档题．
19．已知抛物线
的准线为
，
为
上一动点，过点
作抛物线
的切线，切点分别为
.
（I）求证：
是直角三角形；
（II）
轴上是否存在一定点
，使
三点共线.
答案：
（I）证明见解析；（II）存在.
（I）设出点M的坐标以及切线方程，并将其与
联立消
得
，利用
，得到
，结合韦达定理得到
，即可证明
是直角三角形；
（II）设
，由（I）可得
，设出直线AB的方程与
联立消
得
，结合韦达定理得到
，解得
，得到直线
过定点
，即可证明
轴上存在一定点
，使
三点共
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