导数公式、例题PPT推荐.ppt

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定理定理2.2.1设函数设函数u（x）、v（x）在在x处可导处可导，在在x处也可导，处也可导，（u（x）v（x）=u（x）v（x）;

（u（x）v（x）=u（x）v（x）+u（x）v（x）;

导数的四则运算导数的四则运算导数的四则运算导数的四则运算且且则它们的和则它们的和、差差、积与商积与商推论推论1（cu（x）=cu（x）（c为常数为常数）.推论推论2乘法法则的推广：

乘法法则的推广：

【例题例题】求下列函数的导数：

求下列函数的导数：

解解根据推论根据推论1可得可得（3x4）=3（x4），（5cosx）=5（cosx），（cosx）=-sinx，（ex）=ex，

（1）=0，故故f（x）=（3x4-ex+5cosx-1）=（3x4）-（ex）+（5cosx）-

（1）=12x3-ex-5sinx.f（0）=（12x3-ex-5sinx）|x=0=-1又又（x4）=4x3，例例1设设f（x）=3x4ex+5cosx-1，求求f（x）及及f（0）.例例2设设y=xlnx，求求y.解解根据乘法公式，有根据乘法公式，有y=（xlnx）=x（lnx）+（x）lnx解解根据除法公式，有根据除法公式，有例例3设设求求y.例例44求下列函数的导数：

解：

高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数如如果果可可以以对对函函数数f（x）的的导导函函数数f（x）再再求求导导，所得到的一个新函数，所得到的一个新函数，称为函数称为函数y=f（x）的二阶导数，的二阶导数，记作记作f（x）或或y或或如如对对二二阶阶导导数数再再求求导导，则则称三阶导数，称三阶导数，记作记作f（x）或或四阶或四阶以上导四阶或四阶以上导数记为数记为y（4），y（5），y（n）或或，而而把把f（x）称为称为f（x）的一阶导数的一阶导数.例例55求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数解：

二二阶以上的以上的导数可利用后面的数学数可利用后面的数学软件件来计算来计算推推论论设设y=f（u），u=（v），v=（x）均均可导可导，则复合函数则复合函数y=f（x）也可导也可导，复合函数的求导法则复合函数的求导法则以上法则说明：

复合函数对自变量的导数等于复合以上法则说明：

复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.先将要求导的函数分解成基本初等函数先将要求导的函数分解成基本初等函数,或或常数与基本初等函数的和、差、积、商常数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述复合函数的求导初等函数的求导公式和上述复合函数的求导法则求出法则求出.复合函数求导的关键复合函数求导的关键:

正确分解初等函数正确分解初等函数的复合结构的复合结构.求导方法小结：

求导方法小结：

例例55：

求下列函数的导数

（1）

（2）（3）（4）二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法求对自变量（或）的偏导数时,只须将另一自变量（或）看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算.例例11设函数设函数求求解：

例例22设函数设函数解：

类似可得类似可得二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数函数函数z=f（x,y）的两个偏导数的两个偏导数一般说来仍然是一般说来仍然是x,y的函数，的函数，如果这两个函数关于如果这两个函数关于x,y的偏导数也存在，的偏导数也存在，则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是f（x,y）的二阶偏导数的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四二阶偏导数有四个：

（用符号表示如下）个：

（用符号表示如下）其中其中及及称为二阶混合偏导数称为二阶混合偏导数.类似的，可以定义三阶、四阶、类似的，可以定义三阶、四阶、n阶偏导数，阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，称为函数称为函数f（x,y）的一阶偏导数的一阶偏导数.注：

当两个二阶导数连续时，它们是相等的注：

当两个二阶导数连续时，它们是相等的即即例例3试求函数的四个二阶偏导函数试求函数的四个二阶偏导函数思考题一思考题一求曲线求曲线上与上与轴平行轴平行的切线方程的切线方程.思考题一解答思考题一解答令令切点为切点为所求切线方程为所求切线方程为和和