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11/8/20221现代控制理论最优控制理论东北大学信息科学与工程学院井元伟教授二九年十一月11/8/20222第2章求解最优控制的变分方法第3章最大值原理第4章动态规划第5章线性二次型性能指标的最优控制第6章快速控制系统第1章最优控制问题11/8/20223最优控制理论现代控制理论的重要组成部分20世纪50年代发展形成系统的理论研究的对象控制系统中心问题给定一个控制系统，选择控制规律，使系统在某种意义上是最优的统一的、严格的数学方法最优控制问题研究者的课题，工程师们设计控制系统时的目标最优控制能在各个领域中得到应用，效益显著11/8/20224现代控制理论1.1两个例子1.2问题描述第1章最优控制问题11/8/20225现代控制理论最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题11/8/20226现代控制理论最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题m飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数11/8/20227现代控制理论最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题m飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数11/8/20228现代控制理论最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题m飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数初始状态11/8/20229现代控制理论最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题m飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数初始状态终点条件11/8/202210现代控制理论最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题m飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数初始状态终点条件控制目标11/8/202211现代控制理论最优控制问题1.1两个例子例1.1飞船软着陆问题m飞船的质量h高度v垂直速度g月球重力加速度常数M飞船自身质量F燃料的质量软着陆过程开始时刻t为零K为常数初始状态终点条件控制目标推力方案11/8/202212现代控制理论最优控制问题例1.2导弹发射问题11/8/202213现代控制理论最优控制问题例1.2导弹发射问题11/8/202214现代控制理论最优控制问题例1.2导弹发射问题11/8/202215现代控制理论最优控制问题例1.2导弹发射问题初始条件11/8/202216现代控制理论最优控制问题例1.2导弹发射问题初始条件末端约束11/8/202217现代控制理论最优控制问题例1.2导弹发射问题初始条件末端约束指标11/8/202218现代控制理论最优控制问题例1.2导弹发射问题初始条件末端约束指标控制11/8/202219现代控制理论最优控制问题1.2问题描述

（1）状态方程一般形式为11/8/202220现代控制理论最优控制问题1.2问题描述

（1）状态方程一般形式为11/8/202221现代控制理论最优控制问题1.2问题描述

（1）状态方程一般形式为为n维状态向量11/8/202222现代控制理论最优控制问题1.2问题描述

（1）状态方程一般形式为为n维状态向量为r维控制向量11/8/202223现代控制理论最优控制问题1.2问题描述

（1）状态方程一般形式为为n维状态向量为r维控制向量为n维向量函数11/8/202224现代控制理论最优控制问题1.2问题描述

（1）状态方程一般形式为为n维状态向量为r维控制向量为n维向量函数给定控制规律11/8/202225现代控制理论最优控制问题1.2问题描述

（1）状态方程一般形式为为n维状态向量为r维控制向量为n维向量函数给定控制规律满足一定条件时，方程有唯一解11/8/202226现代控制理论最优控制问题

（2）容许控制11/8/202227现代控制理论最优控制问题

（2）容许控制：

@#@11/8/202228现代控制理论最优控制问题

（2）容许控制：

@#@11/8/202229现代控制理论最优控制问题

（2）容许控制：

@#@有时控制域可为超方体11/8/202230现代控制理论最优控制问题

（2）容许控制：

@#@有时控制域可为超方体11/8/202231现代控制理论最优控制问题（3）目标集11/8/202232现代控制理论最优控制问题（3）目标集11/8/202233现代控制理论最优控制问题（3）目标集n维向量函数11/8/202234现代控制理论最优控制问题（3）目标集固定端问题n维向量函数11/8/202235现代控制理论最优控制问题（3）目标集固定端问题自由端问题n维向量函数11/8/202236现代控制理论最优控制问题（4）性能指标11/8/202237现代控制理论最优控制问题（4）性能指标11/8/202238现代控制理论最优控制问题（4）性能指标对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标11/8/202239现代控制理论最优控制问题（4）性能指标对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标11/8/202240现代控制理论最优控制问题（4）性能指标对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求11/8/202241现代控制理论最优控制问题（4）性能指标对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求11/8/202242现代控制理论最优控制问题（4）性能指标对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求终点型指标，表示仅对终点状态的要求11/8/202243现代控制理论2.1泛函与变分法基础2.2欧拉方程2.3横截条件2.4含有多个未知函数泛函的极值2.5条件极值2.6最优控制问题的变分解法第2章求解最优控制的变分方法11/8/202244现代控制理论求解最优控制的变分方法2.1泛函与变分法基础泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题平面上两点连线的长度问题11/8/202245现代控制理论求解最优控制的变分方法2.1泛函与变分法基础泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题平面上两点连线的长度问题11/8/202246现代控制理论求解最优控制的变分方法2.1泛函与变分法基础泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题平面上两点连线的长度问题一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为11/8/202247现代控制理论求解最优控制的变分方法2.1泛函与变分法基础泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题平面上两点连线的长度问题一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为称为泛函称为泛函的宗量11/8/202248现代控制理论求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释11/8/202249现代控制理论求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释11/8/202250现代控制理论求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释宗量的变分11/8/202251现代控制理论求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释宗量的变分泛函的增量11/8/202252现代控制理论求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释宗量的变分泛函的增量泛函的变分11/8/202253现代控制理论求解最优控制的变分方法泛函与函数的几何解释连续泛函宗量的变分趋于无穷小时，泛函的变分也趋于无穷小线性泛函泛函对宗量是线性的宗量的变分泛函的增量泛函的变分11/8/202254现代控制理论求解最优控制的变分方法定理2.2若泛函有极值，则必有上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用11/8/202255现代控制理论求解最优控制的变分方法2.6最优控制问题的变分解法2.6.4终值时间自由的问题2.6.3末端受限问题2.6.2固定端问题2.6.1自由端问题11/8/202256现代控制理论求解最优控制的变分方法2.6.1自由端问题约束方程新的泛函令有哈米顿函数11/8/202257现代控制理论求解最优控制的变分方法进行变分令有伴随方程必要条件11/8/202258现代控制理论求解最优控制的变分方法例2.5哈米顿函数伴随方程边界条件必要条件11/8/202259现代控制理论求解最优控制的变分方法最优控制代入状态方程并求解令11/8/202260现代控制理论求解最优控制的变分方法2.6.2固定端问题性能指标分部积分进行变分令变分为零11/8/202261现代控制理论求解最优控制的变分方法边界条件指标泛函例2.6考虑如下系统的终端固定的最优控制问题，求取最优控制和最优状态曲线，使指标泛函J取得极小值。

@#@系统的状态方程：

@#@11/8/202262现代控制理论求解最优控制的变分方法哈米顿函数伴随方程由状态方程代入初始和终端条件，可求得11/8/202263现代控制理论求解最优控制的变分方法4.考虑如下系统的终端固定的最优控制问题，求取最优控制和最优状态曲线，使指标泛函J取得极小值。

@#@系统的状态方程为：

@#@其边界条件为：

@#@其指标泛函为：

@#@11/8/202264现代控制理论求解最优控制的变分方法哈米顿函数伴随方程11/8/202265现代控制理论求解最优控制的变分方法11/8/202266现代控制理论求解最优控制的变分方法2.6.3末端受限问题新的泛函变分11/8/202267现代控制理论求解最优控制的变分方法必要条件11/8/202268现代控制理论求解最优控制的变分方法2.6.4终值时间自由的问题T有时是可变的，是指标泛函，选控制使有T极小值变分11/8/202269现代控制理论求解最优控制的变分方法必要条件11/8/202270现代控制理论求解最优控制的变分方法例2.7指标泛函哈米顿函数伴随方程必要条件11/8/202271现代控制理论3.1古典变分法的局限性3.2最大值原理3.3变分法与极大值原理第3章最大值原理11/8/202272现代控制理论最大值原理3.1古典变分法的局限性u（t）受限的例子例3.1伴随方程极值必要条件矛盾!

@#@11/8/202273现代控制理论最大值原理3.2最大值原理定理3.1（最小值原理）设为容许控制，为对应的积分轨线，为使为最优控制，为最优轨线，必存在一向量函数，使得和满足正则方程且11/8/202274现代控制理论最大值原理最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。

@#@但对于线性系统最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。

@#@11/8/202275现代控制理论最大值原理例3.2重解例3.1哈密顿函数伴随方程由极值必要条件，知又于是有11/8/202276现代控制理论最大值原理协态变量与控制变量的关系图11/8/202277现代控制理论最大值原理例3.3性能指标泛函哈密顿函数伴随方程11/8/202278现代控制理论最大值原理上有11/8/202279现代控制理论最大值原理协态变量与控制变量的关系图整个最优轨线11/8/202280现代控制理论最大值原理例3.4把系统状态在终点时刻转移到性能指标泛函终点时刻是不固定的哈米顿函数伴随方程11/8/202281现代控制理论最大值原理H是u的