二元一次方程组应用题经典题(解析版----例题.doc

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实际问题与二元一次方程组题型归纳

知识点一：

列方程组解应用题的基本思想

　　列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：

（1）方程两边表示的是同类量；

（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.

知识点二：

列方程组解应用题中常用的基本等量关系

　　1.行程问题：

（1）追击问题：

追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行.这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是:

两者的行程差＝开始时两者相距的路程；　；；

（2）相遇问题:

相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：

双方所走的路程之和＝总路程.

　　（3）航行问题：

①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

　　　　　　　②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

　　　　　　　③顺水速度－逆水速度＝2×水速.

　　注意：

飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.

　　2．工程问题：

工作效率×工作时间=工作量.

　　3．商品销售利润问题：

（1）利润＝售价－成本（进价）；

（2）；（3）利润＝成本（进价）×利润率；

（4）标价＝成本（进价）×（1＋利润率）；（5）实际售价＝标价×打折率；

　　注意：

“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）

　　4．储蓄问题：

（1）基本概念

　　　①本金：

顾客存入银行的钱叫做本金.②利息：

银行付给顾客的酬金叫做利息.

　　　③本息和：

本金与利息的和叫做本息和.④期数：

存入银行的时间叫做期数.

　　　⑤利率：

每个期数内的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税：

利息的税款叫做利息税.

（2）基本关系式

　　　①利息＝本金×利率×期数

　　　②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）

　　　③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率.

　　　④税后利息＝利息×（1－利息税率）⑤年利率＝月利率×12⑥月利率=年利率.

　　注意：

免税利息=利息

　　5．配套问题：

　　解这类问题的基本等量关系是：

总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.

　　6．增长率问题：

　　解这类问题的基本等量关系式是：

原量×（1＋增长率）＝增长后的量；

　　　　　　　　　　　　　　　　　原量×（1－减少率）＝减少后的量.

　　7．和差倍分问题：

　　解这类问题的基本等量关系是：

较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

　　8．数字问题：

　　解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n为整数时，奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：

两位数=十位数字10+个位数字

　　9．浓度问题：

溶液质量×浓度=溶质质量.

　　10．几何问题：

解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

　　11．年龄问题：

解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的

　　12．优化方案问题：

　　在解决问题时，常常需合理安排.需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案.

　　注意：

方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案.

知识点三：

列二元一次方程组解应用题的一般步骤

　　利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

　　1．审题:

弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:

可直接设元，也可间接设元；

　　3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:

根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.

　　要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

　　（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

　（4）列方程组解应用题应注意的问题

　①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验.

类型一：

列二元一次方程组解决——行程问题

　　1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

　　思路点拨：

画直线型示意图理解题意：

（1）这里有两个未知数：

①汽车的行程；②拖拉机的行程.

（2）有两个等量关系：

　　　①相向而行：

汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;

　　　②同向而行：

汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.

　　解：

设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.

　　　　根据题意，列方程组　　　　解这个方程组，得:

.

答：

汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.

　　总结升华：

根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略.

类型二：

列二元一次方程组解决——工程问题

　　2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：

（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？

（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

　　思路点拨：

本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：

若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：

若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.

　　解：

（1）设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：

　　　　　　　　　　解得

　　　　　答：

甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元.

（2）单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，

　　　　　故请乙组单独做费用最少.

　　　　　答：

请乙组单独做费用最少.

　　总结升华：

工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析.

　类型三：

列二元一次方程组解决——商品销售利润问题

　　3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？

　　思路点拨：

做此题的关键要知道：

利润＝进价×利润率

　　解：

甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：

　　　　，解得：

　　答：

两件商品的进价分别为600元和400元.

类型四：

列二元一次方程组解决——银行储蓄问题

　　4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？

（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）

　　思路点拨：

设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：

教育储蓄

一年定期

合计

现在

一年后

2042.75

解：

设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：

　　　　，解得：

　　答：

存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.

　　总结升华:

我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.

类型五：

列二元一次方程组解决——生产中的配套问题

　　5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

　　思路点拨：

本题的第一个相等关系比较容易得出：

衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：

别把2倍的关系写反了）.

　　解：

设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：

　　答：

用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

　　总结升华：

生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.

类型六：

列二元一次方程组解决——增长率问题

　　6.某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？

　　思路点拨：

设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有

总产值（万元）

总支出（万元）

利润（万元）

去年

x

y

200

今年

120%x

90%y

780

根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式.

　　解：

设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得：

　　　　，解之得：

　　答：

去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元

　　总结升华：

当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析.

　类型七：

列二元一次方程组解决——和差倍分问题

　　7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？

　　思路点拨：

找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组.

　　解：

设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x