普宁英才届高三下学期摸底考试数学理试题 含答案.docx
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普宁英才届高三下学期摸底考试数学理试题含答案
普宁英才华侨中学2017-2018学年度第二学期摸底考试
高三数学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在答题卷密封线内，并在“座位号”栏内填写座位号。
2.所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：
共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）复数z满足（1＋i）z＝i＋2，则z的虚部为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知等差数列
的前n项和为
，且
则数列
的公差为
（A）3（B）4（C）5（D）6
（4）设D为△ABC所在平面内一点，且
则
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）若空间四条直线a、b、c、d，两个平面
、
，满足
，
，
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）b与d是异面直线
（6）若命题：
“
”为假命题，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）函数
的大致图象是
（A）（B）（C）（D）
（8）已知
且
，函数
满足
，
，则
（A）
（B）
（C）3（D）2
（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是
（A）1234（B）2018（C）2258（D）722
（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中
任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）直线
与圆
交于A、B两点，O为坐标
原点，若直线OA、OB的倾斜角分别为
、
，则
=图1
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）已知
且
，若
为
的最小值，则约束条件
所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为
（A）29（B）25（C）18（D）16
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。
第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本小题共4题，每小题5分。
（13）已知菱形
的边长为
，
则
________．
（14）按照国家规定,某种大米质量（单位:
kg）必须服从正态分布
～
根据检测
结果可知
某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利,若该公司有
名职工,则分发到的大米质量在
kg以下的职工数大约为.
（15）已知
满足约束条件
若
的最大值为4，则
.
（16）在数列
中,
对所有正整数
均有
，则
.
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知△
的内角
的对边分别为
，
，
，若
，
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若
求
.
（18）（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成
个等级，等级系数
依次为
…
，其中
为标准
，
为标准
.已知甲厂执行标准
生产该产品，产品的零售价为
元/件;乙
厂执行标准
生产该产品，产品的零售价为
元/件，假定甲,乙两厂的产品都符合相
应的执行标准.
（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数
的概率分布列如下所示：
且
的数学期望
求
的值;
（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数
，从该厂生产的产品中随机抽取
件，相应的等
级系数组成一个样本，数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数
的数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可
购买性？
说明理由.
注:
①产品的“性价比”
；②“性价比”大的产品更具可购买性.
（19）（本小题满分12分）
如图,
平面
，
平面
△
是等边三角形，
是
的中点.
（Ⅰ）求证：
;
（Ⅱ）若直线
与平面
所成角的正切值为
，
求二面角
的余弦值.
（20）（本小题满分12分）
已知动圆
与圆
相切，且与圆
相内切，记圆心
的轨迹为曲线
.
（Ⅰ）求曲线
的方程；
（Ⅱ）设
为曲线
上的一个不在
轴上的动点，
为坐标原点，过点
作
的平行
线交曲线
于
两个不同的点,求△
面积的最大值．
（21）（本小题满分12分）
设函数
.若曲线
在点
处的切线方程为
（
为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若
，试比较
与
的大小，并予以证明.
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为
为参数
曲线
的极坐标方程为
.
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
（II）设直线
与曲线C相交于
两点,当
变化时,求
的最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知
，不等式
的解集是
.
（Ⅰ）求
的值；
（II）若
存在实数解，求实数
的取值范围.
普宁英才华侨中学2017-2018学年度第二学期摸底考试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
A
B
D
C
B
A
B
D
A
二、填空题
（13）
（14）
（15）
（16）
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）因为
，
，
由余弦定理得
即
.……………………2分
所以
.…………………………………………4分
由于
所以
.…………………………………………6分
（Ⅱ）法1:
由
及
得
……………………7分
即
………………………………………………………………8分
解得
或
（舍去）.…………………………………………9分
由正弦定理得
…………………………………………10分
得
.………………………………………12分
法2:
由
及正弦定理得
…………………………………………7分
得
.…………………………………………8分
由于
则
则
.…………………………………………9分
由于
则
.………………………………………10分
所以
………………………………………11分
.……………………………………………………………12分
（18）解:
（Ⅰ）
即
①……………………1分
又由
的概率分布列得
②……………………2分
由①②得
…………………………………………………………4分
（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：
………………………………………………………………5分
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数
的概率分布列如下：
………………………………………………………………6分
所以
.……………7分
即乙厂产品的等级系数的数学期望为
.……………………………………………8分
（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于
价格为
元/件，所以其性价比为
，
………………………………………………………………………………9分
因为乙厂产品的等级系数的期望等于
价格为
元/件，所以其性价比为
，
……………………………………………………………………………10分
据此，乙厂的产品更具可购买性.……………………………………………12分
（19）解:
（Ⅰ）因为△
是等边三角形，
是
的中点,
所以
.…………………………………1分
因为
平面
平面
所以
.…………………………………2分
因为
所以
平面
.……………………3分
因为
平面
所以
.……………………………4分
（Ⅱ）法1:
以点
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，过
且与直线
平行的直线为
轴，
建立空间直角坐标系
.
因为
平面
所以
为直线
与平面
所成角.……………………………………5分
由题意得
即
…………………………………6分
从而
.
不妨设
又
则
.…………………………7分
故
.……………………………8分
于是
设平面
与平面
的法向量分别为
由
得
令
得
所以
.…………………………………9分
由
得
令
得
.
所以
.…………………………………10分
所以
.…………………………………11分
所以二面角
的余弦值为
.…………………………………12分
法2:
因为
平面
所以
为直线
与平面
所成角.…………………………………5分
由题意得
即
…………………………………6分
从而
.
不妨设
又
则
.…………………………………7分
由于
平面
平面
则
∥
.
取
的中点
连接
则
.
在Rt△
中,
在Rt△
中,
在Rt△
中,
取
的中点
连接
则
.…………………………………8分
所以
为二面角
的平面角.…………………………………9分
在Rt△
中,
在Rt△
中,
在Rt△
中,
因为
…………………………………10分
所以
.…………………………………11分
所以二面角
的余弦值为
.…………………………………12分
（20）解：
（Ⅰ）设圆
的半径为
圆心
的坐标为
，
由于动圆
与圆
相切，且与圆
相内切，
所以动圆
与圆
只能内切.…………………………………1分
所以
…………………………………2分
则
.…………………………………3分
所以圆心
的轨迹是以点
为焦点的椭圆,
且
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