系统的稳定性分析PPT推荐.ppt

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标量函数的负定性标量函数的负定性如果V（x）是正定函数，则标量函数V（x）称为负定函数。

正半定函数正半定函数对域（域包含状态空间的原点）上定义的标量函数V（x），如果V（x）0，则V（x）称为正半定函数。

负半定函数负半定函数如果V（x）是正半定函数，则标量函数V（x）称为负半定函数。

标量函数的不定性标量函数的不定性如果在域内，不论域多么小，V（x）既可为正值，也可为负值，则标量函数V（x）称为不定的标量函数。

例Lyapunov第二方法用或者来表示Lyapunov函数，Lyapunov函数关于时间的导数是Lyapunov定理考虑如下非线性系统原点是该系统的平衡状态。

如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，且满足以下条件：

1、正定；

2、沿系统的任意轨线，关于时间t的导数是负定的；

则系统在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。

满足以上条件1和2的标量函数称为是系统的一个Lyapunov函数。

充分条件充要条件例考虑如下非线性系统显然原点是唯一的平衡状态，试分析其稳定性。

1.考虑标量函数：

显然，V（x）是正定的。

2.沿系统的任意轨线V（x）对时间的导数是负定的。

Lyapunov大范围渐近稳定定理考虑系统原点是系统的平衡状态。

若存在具有连续一阶偏导数的标量函数V（x,t），满足以下条件：

1、V（x,t）是正定的；

2、沿系统的任意轨线，V（x,t）,关于时间t的导数V是负半定的；

3、在系统的任意轨线上,V不恒等于零；

4当|x|时，V（x,t）。

则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

例：

混沌系统的镇定例给定连续时间的定常系统试判定其稳定性。

系统的平衡状态为。

取（i）为正定；

（ii）显然V是负半定的；

（iii）可以看出，只有当（a）：

x1任意，x2=0和（b）：

x1任意，x2=-1时，V（x）=0。

而根据系统的状态方程，在系统的任意轨线上，x2=0，则必然有x1=0；

x2=-1时，由状态方程中的第二个方程可得x1=0，进而由第一个方程又得到x2=0，这说明x2=-1不可能在系统轨线上。

因此，除了原点以外，在系统的任意轨线上均有V（x）0。

（iv）当，显然有例：

稳定但不渐近稳定无摩擦单摆系统：

X1是摆角例：

渐近稳定的单摆有摩擦单摆系统：

k正比于线速度x2不能恒为0，系统渐近稳定。

复杂的Lyapunov函数Lyapunov稳定性：

1。

平衡点；

2。

通过系统能量来分析稳定性；

3。

李雅普诺夫函数。

关键：

选取适当的李雅普诺夫函数，判别其定号性。

一个二次型函数正定的判据：

矩阵P的顺序主子式大于零；

矩阵P的特征值大于零。

优点：

1）用于分析；

2）用于设计。

定理4.2.1对非线性系统，原点是系统的平衡状态，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数1。

是正定的；

沿系统的任意轨线，关于时间的导数负定；

则系统在原点这个平衡状态处是渐近稳定的。

进而，当，若，则系统是大范围渐近稳定的。

满足条件

（1）和

（2）的函数称为是系统的李雅普诺夫函数。

问题：

定理没有给出李雅普诺夫函数的寻找方法；

给出的只是一个充分条件。

例分析以下系统在原点处的稳定性解原点是系统的唯一平衡状态。

选取它是正定的。

沿系统的任意轨线，上式是负定的。

因此是系统的李雅普诺夫函数，且是径向无界的。

几何解释：

由确定的图形V（x）表示状态x到原点的距离，则表示状态x沿系统轨线曲线趋向于原点的速度。

定理条件的降低：

定理条件的负定性可以降低。

定理4.2.2对非线性系统，原点是系统的平衡状态，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数1。

沿系统任意轨线，关于时间导数半负定3。

在系统任意轨线上，不恒等于零4。

当，则系统在原点这个平衡状态处是大范围渐近稳定的。

好处：

可以简化稳定性分析。

例分析系统的稳定性解系统的平衡状态为，选取是半负定的。

因此，根据定理4.2.2，系统是渐近稳定的。

针对以上例子，对由于故该函数是系统的一个李雅普诺夫函数。

表明：

可以有多个李雅普诺夫函数。

定理4.2.3设原点是系统的平衡状态，若存在标量函数，满足

（1）在原点附近某个邻域内是正定的；

（2）在同样邻域内也是正定的。

则系统在原点处是不稳定的。

例分析系统的稳定性选取正定函数系统是不稳定的。

4.3线性系统的稳定性分析稳定性判别的充分条件；

没有给出具体李雅普诺夫函数的构造方法。

那么对特殊的系统，是否有更好的结论呢？

线性时不变系统：

候选的李雅普诺夫函数：

沿系统轨线的时间导数系统渐近稳定的一个充分条件：

即：

系统稳定的一个充分条件是存在一个对称正定矩阵P，使得以上矩阵不等式成立。

定理4.3.1线性时不变系统渐近稳定的的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵P，使得特点：

条件是充分必要的；

给出了李雅普诺夫函数的具体构造方法。

关键的问题：

如何求解矩阵不等式：

4.3.1李雅普诺夫方程处理方法转化成方程来处理。

对任意选定的对称正定矩阵Q，若有一个对称正定解P，则这样的矩阵P满足矩阵不等式定理4.3.2线性系统渐近稳定的充分必要条件是李雅普诺夫方程存在对称正定解矩阵。

说明：

李雅普诺夫方程的可解性不依赖矩阵Q的选取；

李雅普诺夫方程是一个线性方程组；

若李雅普诺夫方程可解，则其中矩阵Q的含义是例4.3.1应用李雅普诺夫方法分析系统稳定性。

解原点是系统的惟一平衡点。

解方程系统是二阶的，故验证矩阵P的正定性。

根据矩阵正定性判别的塞尔维斯特方法矩阵P是正定的，故系统是渐近稳定的。

系统的李雅普诺夫函数是例4.3.2确定增益K范围，以使得系统是渐近稳定的。

状态空间实现：

课堂、课后参考练习。

4.4李雅普诺夫稳定性方法在控制系统分析中的应用4.4.1参数优化问题系统模型：

选择参数，使得系统是渐近稳定的，且性能指标最小化。

Q是对称加权矩阵。

性能指标的意义：

阴影部分面积可以体现调节时间、振荡等动态性能指标参数使得系统稳定对任意给定的对称正