二重积分的定义PPT课件下载推荐.ppt

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如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束2.在直角坐标系下用在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来平行于坐标轴的直线网来划分区域划分区域D,二重积分可写为二重积分可写为注注定积分中定积分中1.重积分重积分与与定积分的区别定积分的区别:

重积分中重积分中可正可负可正可负.则面积元素为则面积元素为D二重积分的存在定理二重积分的存在定理设设f（x,y）是有界闭区域是有界闭区域D上的连续函数上的连续函数存在存在.连续函数一定可积连续函数一定可积注注今后的讨论中今后的讨论中,积分区域内总是连续的积分区域内总是连续的.或是分片连续函数时或是分片连续函数时,则则都假定被积函数在相应的都假定被积函数在相应的

（2）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（3）

（1）在在D上的上的二重积分就等于二重积分就等于二重积分是二重积分是二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的而在其它的部分区域上是负的.这些这些部分区域上的部分区域上的柱体体积的代数和柱体体积的代数和.那末那末,柱体体积的负值柱体体积的负值;

柱体体积柱体体积;

在在D上的若干部分区域上是正的上的若干部分区域上是正的,例例设设D为圆域为圆域二重积分二重积分=解解上述积分等于上述积分等于由二重积分的几何意义可知，由二重积分的几何意义可知，是上半球面是上半球面上半球体的体积：

上半球体的体积：

RD性质性质1为常数为常数,则则（二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质）二重积分的性质二重积分的性质根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义,确定积分值确定积分值以以1为高的为高的性质性质2将区域将区域D分为两个子域分为两个子域性质性质3若若为为D的面积的面积D1D2注注既可看成是以既可看成是以D为底为底,柱体体积柱体体积.对积分区域的可加性质对积分区域的可加性质.D又可看成是又可看成是D的面积的面积.D1与与D2除分界线除分界线外无公共点外无公共点.特殊地特殊地性质性质4（比较性质比较性质）设设则则例例的值的值=（）.（A）为正为正（B）为负为负（C）等于等于0（D）不能确定不能确定为负为负B几何意义几何意义以以m为高和以为高和以M为高的两个为高的两个证证再用性质再用性质1和性质和性质3,性质性质5（估值性质估值性质）则则为为D的面积的面积,则曲顶柱体则曲顶柱体的体积介于以的体积介于以D为底为底,平顶柱体体积之间平顶柱体体积之间.证毕证毕.性质性质6（二重积分中值定理二重积分中值定理）体积等于体积等于显然显然几何意义几何意义证证D上连续上连续,为为D的面积的面积,则在则在D上至少存在一点上至少存在一点使得使得则曲顶柱体则曲顶柱体以以D为底为底为高的平顶柱体体积为高的平顶柱体体积.将性质将性质5中不等式各除以中不等式各除以有有的最大值的最大值M与最小值与最小值m之间的之间的.由闭区域上连续函数的介值定理由闭区域上连续函数的介值定理.两端各乘以两端各乘以点的值点的值证毕证毕.即是说即是说,确定的数值确定的数值是介于函数是介于函数在在D上至少存在一点上至少存在一点使得函数在该使得函数在该与这个确定的数值相等与这个确定的数值相等,即即以任意方式将区域以任意方式将区域D分割成分割成二重积分的几何背景二重积分的几何背景曲顶柱体的母线平行于曲顶柱体的母线平行于Oz轴，轴，下底是下底是xOy平面上的区域平面上的区域D,上顶是曲面上顶是曲面S:

z=f（x,y）.其中其中f（x,y）0.求这个曲顶柱体的体积。

求这个曲顶柱体的体积。

解解表示它们的面积。

表示它们的面积。

任取一个小区域任取一个小区域Di，将以将以Di为底，曲面为底，曲面S为顶的曲顶柱体为顶的曲顶柱体于是整个于是整个曲顶柱体就被分成若干小的曲顶柱体。

曲顶柱体就被分成若干小的曲顶柱体。

并且在并且在Di内内任取一点任取一点Pi，上页下页返回结束机动若干小区域若干小区域地看作是以地看作是以Di为底，高度等于为底，高度等于f（Pi）柱体。

柱体。

因此这个小柱体的体积近似地等于因此这个小柱体的体积近似地等于各个小柱体的体积之和各个小柱体的体积之和表示表示Di的直径的直径（i=1,2,n）如果这个和式存在极限如果这个和式存在极限:

那么这个极限值就是曲顶柱体的体积。

这个方法的意义不仅在于求曲顶柱体的体积。

而是给出了求连续变量之和的一种普遍的方法。

上页下页返回结束机动就是整个柱体体积的近似值：

就是整个柱体体积的近似值：

上页下页返回结束机动二重积分背景之二：

质量非均匀分布的薄板的质量。

二重积分背景之二：

设设xOy平面上有一块薄板平面上有一块薄板,用用D表示薄板所占据的平面区域表示薄板所占据的平面区域.假设薄板上任一点假设薄板上任一点（x,y）处处方法：

方法：

以任意方式将区域以任意方式将区域D分割成若干小区域分割成若干小区域它们的面积表示为它们的面积表示为任取一个小区域任取一个小区域Di，并且在并且在Di内内任取一点任取一点Pi，Di的平均质量密度近似的等于的平均质量密度近似的等于m（Pi）.于是可以将于是可以将Di的质量近似地表示为：

的质量近似地表示为：

质量密度等于质量密度等于m（x,y）.求薄板质量求薄板质量M.各小区域质量近似值之和就是整个平板质量的近似值：

各小区域质量近似值之和就是整个平板质量的近似值：

表示表示Di的直径的直径（i=1,2,n）那么这个极限值就是整个平板的质量。

那么这个极限值就是整个平板的质量。

如果这个近似值存在极限如果这个近似值存在极限: