第二章鸽巢原理习题课PPT课件下载推荐.ppt

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显然,当q1=q2=qn=2时,加强形式即为简单形式。

即即N（q1,q2,qn;

1）=q1+q2+qn-n+1.鸽巢原理与Ramsey定理习题课推论1n（r-1）1只鸽子飞入n个巢里，则至少有一个鸽巢里至少有r只鸽子。

当qi=r时，得：

推论3：

设m1,m2,mn均为正整数,且满足,则m1,m2,mn中至少有一个数不小于r。

推论2：

m只鸽子飞入n个巢里，则至少有一个鸽巢里至少有只鸽子,其中是不小于的最小整数。

2鸽巢的构造及其应用鸽巢的构造及其应用虽然鸽巢原理十分简单明了，但不是所有的问题都一眼就可以看出什么是鸽子，什么是鸽巢。

在应用它的时候却涉及很多技巧，这是利用鸽巢原理解题的魅力所在。

常用的构造鸽巢的方法有：

利用整数分组、余数分类，划分集合，分割区间、分割图形，利用染色等。

下面给出几类常用的构造鸽巢的方法。

2.1利用整数分组构造利用整数分组构造“鸽巢鸽巢”例例1试证明从明从11，22，kn中中选n+1+1个数，个数，总存在存在22个数，它个数，它们之之间最多最多相差相差k-1-1。

证明：

把把1，2，kn分为分为n部分部分1，2，3，,k,k+1,k+2,2k,（n-1）k+1,（n-1）k+2,kn,即做即做n个鸽巢，从中个鸽巢，从中任任选选n+1个数，由鸽巢原理，必有个数，由鸽巢原理，必有2个数选在同一个鸽巢中，所以它们的个数选在同一个鸽巢中，所以它们的差最大为差最大为k-1。

路易路易波萨是匈牙利数学家波萨是匈牙利数学家,在他在他11岁时匈牙利大数学家厄杜斯给他岁时匈牙利大数学家厄杜斯给他出出了个问题了个问题:

“如果你手头上有如果你手头上有n+1个整数，这些整数是小于或等于个整数，这些整数是小于或等于2n的，那么你一的，那么你一定会有一对数是互素的。

你知道这是什么原因吗？

定会有一对数是互素的。

”波萨仅思考了半分钟就巧妙地回答了这个问题。

波萨仅思考了半分钟就巧妙地回答了这个问题。

例例2在一条笔直的马路上种树，从起点起，每隔在一条笔直的马路上种树，从起点起，每隔1米种一棵数。

如果把三米种一棵数。

如果把三块块“爱护爱护树木树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌的树它们之间的牌的树它们之间的距离是偶数（以米为单位）。

距离是偶数（以米为单位）。

解解从起点开始给每课树编号，树上的号码依次为从起点开始给每课树编号，树上的号码依次为1,2,3,1,2,3,n,把这些号码把这些号码分为奇数和偶数两类，当作两个鸽巢，分为奇数和偶数两类，当作两个鸽巢，把三块牌分别挂在三棵树上，那么不管把三块牌分别挂在三棵树上，那么不管怎么挂，这三棵挂牌的树至少有两棵树的号码同为奇数或偶数，而这两棵树的差怎么挂，这三棵挂牌的树至少有两棵树的号码同为奇数或偶数，而这两棵树的差必为偶数，必为偶数，所以至少有两棵挂牌的树它们之间的距离是偶数（以米为单位）。

所以至少有两棵挂牌的树它们之间的距离是偶数（以米为单位）。

2.2利用划分图形构造利用划分图形构造“鸽巢鸽巢”例例11边长为边长为11的正方形中，任意放入的正方形中，任意放入99个点，求证这个点，求证这99个点中任个点中任取取33个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过.解：

将边长为解：

将边长为11的正方形等分成边长为的正方形等分成边长为1/21/2的四个小正方形，视这四的四个小正方形，视这四个正方形为鸽巢，个正方形为鸽巢，99个点任意放入这四个正方形中，由鸽巢原理必有三个点任意放入这四个正方形中，由鸽巢原理必有三点落入同一个正方形内点落入同一个正方形内.现特别取出这个正方形来加以讨论现特别取出这个正方形来加以讨论.图1把落在这个正方形中的三点记为把落在这个正方形中的三点记为DD、EE、F.F.如图如图11，通过这三点中的任意一点（如通过这三点中的任意一点（如EE）作正方形边平行线）作正方形边平行线SDEFSDEGSEFG所以，结论成立。

1.如果如果8个点无一个在圆心上，可将圆分成个点无一个在圆心上，可将圆分成7个相等的扇形，由鸽巢原理，个相等的扇形，由鸽巢原理，2.这这8个点至少有两个在同一个扇形内，则这两点之间的距离小于半径。

个点至少有两个在同一个扇形内，则这两点之间的距离小于半径。

例例22在圆内（包刮圆周）有在圆内（包刮圆周）有88个点，则其中必有两个点，它们之间的距离小个点，则其中必有两个点，它们之间的距离小于圆的半径。

于圆的半径。

证明证明分两种情况考虑。

分两种情况考虑。

A1A2A3A4A6A5o2.2.如果如果88个点有一个点在圆心，可将圆个点有一个点在圆心，可将圆分成分成6个相等的扇形，如图，个相等的扇形，如图，取扇形取扇形OA1A2不包含不包含OA2,扇形扇形OA2A3不包含不包含OA3,扇形扇形OA6A1不包含不包含OA1,由鸽巢原理，余下的由鸽巢原理，余下的7个点个点至少有两个在同一个扇形内，则这两点之间的距离至少有两个在同一个扇形内，则这两点之间的距离小于半径。

小于半径。

由于圆上相邻两点由于圆上相邻两点AAi,A,Aj间的弦长恰好为圆的半径，所以间的弦长恰好为圆的半径，所以弦长：

1.在边长为1的正方形内任取5个点,则其中至少有两点,它们之间的2.距离不超过2.证明:

（1）在一边长为1的三角形中任取10个点,则其中至少有两点,它们之间的距离不超过1/3.

（2）确定mn，使得在一边长为1的三角形中任取mn个点,则其中至少有两点,它们之间的距离不超过1/n.类似这样的问题还有不少。

2.32.3利用余数分类构造利用余数分类构造“鸽巢鸽巢”例例试证明任意给定试证明任意给定5252个整数，它们之中必有个整数，它们之中必有22个数，其和或差个数，其和或差是是100100的倍数的倍数（即被即被100100整除）整除）。

任意一个整数证明：

任意一个整数a除以除以100产生的余数为产生的余数为0，1，2，99共共100种。

用种。

用a1,a2,a52表示这表示这52个整数，个整数，ai除以除以100产生的余数记为产生的余数记为ri（i=1，2，52）。

）。

由鸽巢原理，这由鸽巢原理，这52个整数分别除以个整数分别除以100产生的产生的52个余数个余数r1,r2,r52中中必有两个余数落在同一组中必有两个余数落在同一组中，我们现在用我们现在用00，11，22，,99,99这这100100个余数来构造鸽巢，将它们分为个余数来构造鸽巢，将它们分为5151组，组，构造出构造出5151个鸽巢：

个鸽巢：

00，11，9999，22，9898，49,51,50,49,51,50,即存在两个数，它们的和或差能被即存在两个数，它们的和或差能被100整除。

整除。

若这两个余数落在若这两个余数落在0或或50中，则它们的和及中，则它们的和及差都能被差都能被100整除。

若这两个余数落在剩下的若这两个余数落在剩下的49组中的一组，当余数相同组中的一组，当余数相同时，它们的差时，它们的差被被100100整除，整除，当余数不同时，它们的和被当余数不同时，它们的和被100整除，整除，类似这样的例子也有不少。

这个问题的一般提法任意给定n+2个整数，它们之中必有2个数，其和或差是2n的倍数。

1.任取n+1个正整数，求证在这n+1个数中必有两个数它们之差被n整除.2.任意给出2011个正整数证明必存在正整数使得2.任意给出2011个正整数证明必存在正整数证明证明构造部分和序列构造部分和序列则有如下两种可能：

则有如下两种可能：

（i）存在整数存在整数h（1h2011）,使得使得.此时此时,取取k=0,l=h即满足即满足题意题意.（iiii）对任一整数）对任一整数i，均有，均有.令令，则有则有这样这样,2011个余数均在个余数均在1到到2010之间之间,由鸽巢原理知由鸽巢原理知,存在整数存在整数,使得使得.不妨设不妨设lk，则，则综合（综合（i）和（）和（ii），即知题设结论成立），即知题设结论成立.2.4利用分割区间来构造利用分割区间来构造“鸽巢鸽巢“例例一个孩子每天至少看一个小时电视，共看一个孩子每天至少看一个小时电视，共看77周，每周看电视从不超周，每周看电视从不超过过1111小时，证明：

在此期间存在连续若干天这个孩子恰好看电视小时，证明：

在此期间存在连续若干天这个孩子恰好看电视2020个小个小时。

（设这个孩子每看电视时间为整数个小时）时。

（设这个孩子每看电视时间为整数个小时）证明证明设这个孩子设这个孩子7周内每天看电视的时间分别为周内每天看电视的时间分别为a1,a2,a49小时小时，现在构造出数列现在构造出数列an的前的前n项和的数列项和的数列s1=a1，s2=a1+a2，s49=a1+a2+a49，则有：

1s1s2s3s49117=77,而序列s1+20，s2+20，,s49+20也是一个严格的递增序列，且有21s1+20s2+20j），即，即si-sj=20，从而这个孩子从，从而这个孩子从j+1天起到第天起到第i天的时间里恰好看电视天的时间里恰好看电视20个小时。

个小时。

类似这样的例子还有不少。

1.1.一个乒乓球手有一个乒乓球手有3737天时间准备一场比赛天时间准备一场比赛,他决定每天至少打他决定每天至少打11场球场球,37,37天至多打天至多打6060场球场球,证明证明:

在此期间存在连续若干天他恰好打了在此期间存在连续若干天他恰好打了2121场球。

场球。

2.一一个学生解数学题个学生解数学题100天天,每天至少解一道题每天至少解一道题,每每10天至多解天至多解17道道题题,证明证明:

在此期间存在连续若干天他恰好解了在此期间存在连续若干天他恰好解了29道题道题.那么是否存那么是否存在连续若干天他恰好解了在连续若干天他恰好解了30道题。

道题。

3.在在（0,1区间上任取区间上任取5个点，则必有两个点它们的距离小于个点，则必有两个点它们的距离小于1/4。

4.n+1个实数个实数xi满足满足0xi1（i=1,2,n+1），求证这），求证这n+1个实数中必存在两个实数中必存在两个数个数xi,xj，使得，使得由于1ai200，所以ri（1i101）只能取1，3，5，199这100个奇数，而r1，r2，r101共有101项，由鸽巢原理知，存在1ij101，使得ri=rj，不妨设sisj，则即aj能被ai整除.2.5利用化分集合来构造利用化分集合来构造“鸽巢鸽巢”例试证明在1到200个自然数中任取101个数，一定存在两个数，其中的一个数是另一个数的整数倍。

证明:

设a1，a2，a101是被选出的101个整数,对任一ai，都可以唯一地写成如下的形式：

其中，si为整数，ri为奇数.整数推论推论33的应用的应用.例例1把把1至至10这十数字随机的排成一个圆圈，证明这十数字随机的排成一个圆圈，证明必有一个三相邻数字之和大于等于必有一个三相邻数字之和大于等于17证明把证明把1至至10这十个数字随机排成一个圆圈这十个数字随机排成一个圆圈,从中任取从中任取三个相邻数字的方法有三个相邻数字的方法有10种种,设这设这10种三个相邻数字之和分种三个相邻数字之和分别为别为m1,m2,m10,则有则有m1+m2+m10=3（1+2+10）=由推论由推论由推论由推论3,3,必存在必存在必存在必存在mmii（0（0ii1010）,使得使得使得使得mmii