王振发版-分析力学-课件-第2章-动力学普遍方程和拉格朗日方程PPT文档格式.pptx

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拉格朗日（拉格朗日（1736-1813）应用达朗伯原理，把虚位移原理推广用达朗伯原理，把虚位移原理推广到非自由到非自由质点系的点系的动力学力学问题中，建立了中，建立了动力学普遍方程，力学普遍方程，进一步一步导出了拉格朗日方程。

出了拉格朗日方程。

vPMl其加速度其加速度为令令R=P+T则则ma=R=P+T摆锤M在受到在受到P、T的同的同时，将，将给施力体施力体（地心和（地心和绳子）一子）一对应的反作用力，的反作用力，反作用力的合力反作用力的合力为TR=R=ma此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力反作用力”，称为，称为惯性力惯性力。

anPTPTPTananan图示圆锥摆摆长为图示圆锥摆摆长为l，摆锤，摆锤M的质量的质量m，在水平面内作匀速圆周运动，速度为，在水平面内作匀速圆周运动，速度为v，锥摆的顶角为，锥摆的顶角为2，摆锤M受力如受力如图。

RvRvRvR结论：

质点在作非点在作非惯性运性运动的任意瞬的任意瞬时，对于施力于它的物于施力于它的物体会作用一个体会作用一个惯性力，性力，该力的大小等于其力的大小等于其质量与加速度的乘量与加速度的乘积，方向与其加速度方向相反。

，方向与其加速度方向相反。

若用若用Fg表示表示惯性力，性力，则有有Fg=ma说明：

明：

1.此力是不是真实的力！

此力是不是真实的力！

2.此力作用于施力给质点的物体上！

此力作用于施力给质点的物体上！

3.此力又称为牛顿惯性力！

此力又称为牛顿惯性力！

引言引言3：

达朗伯原理：

达朗伯原理一、一、质点的达朗伯原理点的达朗伯原理设质点点M的的质量量为m，受力有，受力有主主动力力F、约束反力束反力FN，加速度加速度为a，则根据牛根据牛顿第二定律，有第二定律，有FFNFgaMFFNFgaFFNFgaFFNFgaMMma=F+FNFg=ma令令则则F+FN+Fg=0形式上的平衡方程形式上的平衡方程结论：

结论：

在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性力力Fg，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系。

这就是就是质点的达朗伯原理点的达朗伯原理。

二、二、质点系的达朗伯原理点系的达朗伯原理设质点系由点系由n个个质点点组成，成，第第i个个质点点质量量为mi，受力有主，受力有主动力力Fi，约束反力束反力FNi，加速度，加速度为ai，假想地加上其，假想地加上其惯性力性力Fgi=miai，则根据根据质点的达朗伯原理，点的达朗伯原理，Fi、FNi与与Fgi应组成形式上成形式上的平衡力系，即的平衡力系，即对整个整个质点系来点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组成形式点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组成形式上的平衡力系上的平衡力系。

Fi+FNi+Fgi=0（i=1，2，n）MO（Fi）+MO（FNi）+MO（Fgi）=0Fi+FNi+Fgi=0质点系的质点系的达朗伯原理达朗伯原理即即或或1.动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理简单结合的合的产物。

物。

设质点系由点系由n个个质点点组成，第成，第i个个质点点质量量为mi，受主受主动力力Fi，约束反力束反力FNi，加速度，加速度为ai，虚加上虚加上其其惯性力性力Fgi=miaiFiFNiFgiaiMFNiFNiMMFgiaiFgiaiFiFi则根据达朗伯原理，根据达朗伯原理，Fi、FNi与与Fgi，应组成形式上的平衡力系，即成形式上的平衡力系，即Fi+FNi+Fgi=0若若质点系受理想点系受理想约束作用，束作用，应用虚位移原理，有用虚位移原理，有或或动力学普遍方程力学普遍方程表明：

在理想表明：

在理想约束条件下，在任意瞬束条件下，在任意瞬时，作用于，作用于质点系上点系上的主的主动力和力和惯性力在性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和点系的任意虚位移上所做虚功之和等于零。

等于零。

则则动力学普遍方程动力学普遍方程的坐标分解式为的坐标分解式为若若例例1.两均两均质轮质量皆量皆为m1，半径皆，半径皆为r，对轮心的心的转动惯量量为J；

中心用；

中心用质量量为m2的的连杆杆连接，在接，在倾角角为的斜面上的斜面上纯滚动纯滚动。

求求连杆的加速度。

杆的加速度。

研究整个系统，进行受力分析；

解：

设杆的加速度为设杆的加速度为a，则，则m2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgassm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgassm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgassFg1=m1a，Fg2=m2a，给连杆以平行于斜面向下给连杆以平行于斜面向下的虚位移的虚位移s，则相应地两则相应地两轮有转角虚位移轮有转角虚位移，且且根据动力学普根据动力学普遍方程，得遍方程，得:

于是于是解得解得（a）（b）2.拉格朗日方程拉格朗日方程将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉格第二类拉格朗日方程朗日方程。

n个质点的系统受到个质点的系统受到k个如个如下形式的完整约束下形式的完整约束fi,又若系统中又若系统中质量为质量为mj的第的第j个质点受主动力个质点受主动力Fj，则系统的运动满足，则系统的运动满足3n个方程个方程如左，称为如左，称为第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程，i称为拉各朗日未定乘称为拉各朗日未定乘子。

子。

*第一类拉格朗日方程用到的较少第一类拉格朗日方程用到的较少拉格朗日拉格朗日17361813,法籍法籍意大利人，数学家、意大利人，数学家、力学家、天文学家，力学家、天文学家，十九岁成为数学教十九岁成为数学教授，与欧拉共同创授，与欧拉共同创立变分法，是十八立变分法，是十八世纪继欧拉后伟大世纪继欧拉后伟大的数学家。

的数学家。

设质点系由点系由n个个质点点组成，具有成，具有s个完整理想个完整理想约束，束，则有有N=3n-s个自由度（个自由度（广义坐标广义坐标）。

）。

用用q1，q2，qN表示系统的广义坐标，第表示系统的广义坐标，第i个质点质量为个质点质量为mi，矢径为矢径为ri。

则。

则ri=ri（q1，q2，qN，t）对上式求变分得对上式求变分得动力学普遍方程可写成动力学普遍方程可写成其中其中根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广义坐标因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广义坐标的变分的变分qk是任意的，为使上式恒成立，须有是任意的，为使上式恒成立，须有（k=1，2，N）广广义力力广广义惯性力性力以广义坐标表示的达朗伯原理以广义坐标表示的达朗伯原理对式对式中广义惯性力进行变换：

中广义惯性力进行变换：

将下列两个恒等式（有关证明请参阅教材将下列两个恒等式（有关证明请参阅教材P46）（广义速度）广义速度）得得所以所以代入第一项中的括号内代入第一项中的括号内代入第二项中的括号内代入第二项中的括号内得到得到这就是这就是第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程，是一个方程组，该方程组，是一个方程组，该方程组的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分方程，方程，揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。

若作用于若作用于质点系的主点系的主动力均力均为有有势力（保守力）力（保守力）则广义力则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式可写成质点系势能表达的形式于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成用函数用函数L表示系统的动能表示系统的动能T与势能与势能V之差，即之差，即L=TVL称为称为拉格朗日函数或动势拉格朗日函数或动势。

则在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为则在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为若作用于若作用于质点系的主点系的主动力力为有有势力及非有力及非有势力两部分构成力两部分构成时用拉格朗日方程的意用拉格朗日方程的意义1.拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程，是分析力学中的重要方程。

的普遍方程，是分析力学中的重要方程。

2.拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本量，是拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本量，是用广义坐标表示的运动微分方程。

用广义坐标表示的运动微分方程。

3.拉格朗日方程形式简洁，运用时只需要计算系统的动能；

拉格朗日方程形式简洁，运用时只需要计算系统的动能；

对于保守力系统，只需要计算系统的动能和势能。

用拉格朗日方程概述用拉格朗日方程概述1.静力学静力学：

对受完整约束的多自由度的平衡问题，根据虚：

对受完整约束的多自由度的平衡问题，根据虚位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平衡方程。

这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约衡方程。

这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。

束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。

2.动力学：

动力学：

对受完整约束的多自由度的动力学问题，可以对受完整约束的多自由度的动力学问题，可以根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组独立的运动微分方程。

这种用广义坐标表示的动力学普遍方独立的运动微分方程。

这种用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为拉格朗日第二类方程，简称为拉格朗日方程。

程，称为拉格朗日第二类方程，简称为拉格朗日方程。

用拉格朗日方程解用拉格朗日方程解题的步的步骤1.确定系统的自由度数（广义坐标数）；

确定系统的自由度数（广义坐标数）；

2.选广义坐标；

选广义坐标；

3.计算系统的动能计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能；

，且用广义速度来表示动能；

4.计算广义力（对保守系统可计算势能）；

计算广义力（对保守系统可计算势能）；

5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。

代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。

rRMMOAM例例1位于水平面内的行星轮机构中，质量为位于水平面内的行星轮机构中，质量为m1的均质细杆的均质细杆OA，可绕，可绕O轴转动，另一端装有质量为轴转动，另一端装有质量为m2、半径为、半径为r的均质的均质小齿轮，小齿轮沿半径为小齿轮，小齿轮沿半径为R的的固定固定大齿轮大齿轮纯滚动纯滚动。

当细杆受。

当细杆受力偶力偶M的作用时，求细杆的的作用时，求细杆的角加速度角加速度。

研究整个系统，选广义坐标研究整